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2019-2020学年九年级数学上册 第一章 一元二次方程小结与思考导学

案（新版）苏科版

班级______学号_____姓名___________

一、知识点归纳： 1.方程的分类：

2.一元二次方程：

只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为 。 ◆ 解一元二次方程的方法有：

① ；② ；③ ；④ ； 3.一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式为x= 。 4.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式。 （1）当 时，方程有两个不相等的实数根； ．．．．．（2）当 时，方程有两个相等的实数根； ．．．．（3）当 时，方程没有实数根。 ．．．．．5．一元二次方程的根与系数的关系：

如果ax+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么：x1?x2?________,x1?x2?_______ 如果方程x+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝________,x1·x2=_______． 二、例题：

（一）一元二次方程的概念、一般形式的考查：

1、下列方程中，是一元二次方程的是 （ ）

2A、x2+3x +y=0 ； B、 x+y+1=0 ； C 、 2x?1?x?1； D、x2?1?5?0

22

32x2、关于x的一元二次方程(m－1)x＋x＋m－1＝0有一根为0，则m的值为 （ ）

22

A、1 B、－1 C、1或－1 D、1

23、若关于x的一元二次方程(m?1)x2?5x?m2?3m?2?0的常数项为0，则m的值等于（ ）

A．1 B．2 C．1或2 D．0

（二）一元二次方程的解及其解法的考查：

1、关于x的一元二次方程x2?5x?p2?2p?5?0的一个根为1，则实数p的值是（ ）

A．4 B．0或2 C．1 D．?1

x2?5x?42、要使分式的值为0，则x应该等于（ ）

x?4（A）4或1 （B）4 （C）1 （D）?4或?1 3、如果a?b?c?0,则一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)必有一个根是　　　　　。

4、若最简二次根式 x2?4x 与310?x是同类二次根式，则x的值是 5、三角形的两边长分别是5和9 第三边的长为一元二次方程x-14x+48=0的根，则这个三角形

的边长为______________。 6、若关于x的一元二次方程x2?mx?2?0与x2?(m?1)x?m?0有一个相同的实数根，求m的值。

(三) 一元二次方程的根的判别式的考查：

1、若方程kx?6x?1?0有实数根，则k的范围是_____________________。 2、当m为何值时，一元二次方程x??2m?3?x?m?3?0 有实数根。

222

2??

（四）一元二次方程的根与系数的关系的考查： 1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？

（1）x－2x＋1＝0； （2）x－9x＋10＝0； （3）2x－9x＋5＝0；

（4）4x－7x＋1＝0； （5）2x－5x＝0； （6）x－1＝0

2、已知方程5x＋kx－6＝0的根是2，求它的另一根及k的值．

3、不解方程，求方程2x+3x－1=0的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．

（五）配方法的应用：

2

2

2

2

2

2

2

2

1、 运用配方法解一元二次方程：x?4x?45?0 2、运用配方法判别二次三项式的符号：

试证明：不论x取何值，代数式?2x?4x?7的值总小于0。

3、运用配方法求代数式的最值。求代数式x?5x?7的最值。

拓展延伸：当x,y取何值时，代数式?x?2y?2x?8y?5有最大值，最大值是多少？

（六）思想方法的考查： 1、待定系数法：

2

如果一元二次方程x＋ax ＋b= 0的两个根是0和-2，则a= ；b= 。 2、换元法：

用换元法解分式方程

222222x?12x?1x?y，如果设并将原方程化为关于y的整??2时，

xx2x?12式方程，那么这个整式方程是 ．

3、整体法：

(1) 已知ｍ是方程x?x?1?0的一个根，则代数式m?m的值等于 （ ）

A、１ B、－１ C、0 D、2

(2) 若（x+y）(1-x-y)+6=0. 则x+y 的值为_______________。

（3）x2?y2?3x2?y2?10?0,则x?y?_________。 4、分类讨论：

2(k?2)x?2(k?1)x?k?1?0有实数根，求k的取值范围。 （1）关于x的方程．．

（2）若等腰△ABC的一边长为a?5，另两边长b、c恰好是方程x?(2k?1)x?6k?0的两个根。求△ABC的周长和面积。

22??2??22