内容发布更新时间 : 2024/6/2 18:23:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
13. （2018?四川凉州?3分）将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，则图中阴影部分面积为 4π cm．
2
【分析】易得整理后阴影部分面积为圆心角为120°，两个半径分别为4和2的圆环的面积． 【解答】解：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm， ∴BC=2，AC=2
，∠A′BA=120°，∠CBC′=120°，
×（4﹣2）=4πcm．
2
2
2
∴阴影部分面积=（S△A′BC′+S扇形BAA′）﹣S扇形BCC′﹣S△ABC=故答案为：4π．
【点评】本题利用了直角三角形的性质，扇形的面积公式求解． 2.
三.解答题 (要求同上一)
1.（2018·山东临沂·9分）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若BD=
，BE=1．求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，作OF⊥AC于F，如图，利用等腰三角形的性质得AO⊥BC，AO平分∠BAC，再根据切线的性质得OD⊥AB，然后利用角平分线的性质得到OF=OD，从而根据切线
的判定定理得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，利用勾股定理得到r+（
2
）=（r+1），解得r=1，
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则OD=1，OB=2，利用含30度的直角三角三边的关系得到∠B=30°，∠BOD=60°，则∠AOD=30°，于是可计算出AD==2S△AOD﹣S扇形DOF进行计算．
【解答】（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图， ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO⊥BC，AO平分∠BAC， ∵AB与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AB， 而OF⊥AC， ∴OF=OD，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r， ∴r2+（
）2=（r+1）2，解得r=1，
OD=
，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积
∴OD=1，OB=2，
∴∠B=30°，∠BOD=60°， ∴∠AOD=30°， 在Rt△AOD中，AD=
OD=
，
∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF =2××1×=
﹣
．
﹣
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了等腰三角形的性质．
2. （2018?江苏扬州?10分）如图，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是A的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．
【分析】（1）作OH⊥AC于H，如图，利用等腰三角形的性质得AO平分∠BAC，再根据角平分线性质得OH=OE，然后根据切线的判定定理得到结论； （2）先确定∠OAE=30°，∠AOE=60°，再计算出AE=3图中阴影部分的面积=S△AOE﹣S扇形EOF进行计算；
（3）作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，利用两点之间线段最短得到此时EP+FP最小，通过证明∠F′=∠EAF′得到PE+PF最小值为3OB得到此时PB的长．
【解答】（1）证明：作OH⊥AC于H，如图， ∵AB=AC，AO⊥BC于点O， ∴AO平分∠BAC， ∵OE⊥AB，OH⊥AC， ∴OH=OE，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵点F是AO的中点， ∴AO=2OF=3， 而OE=3，
∴∠OAE=30°，∠AOE=60°， ∴AE=
OE=3
，
﹣
=
；
，然后计算出OP和
，然后根据扇形面积公式，利用
∴图中阴影部分的面积=S△AOE﹣S扇形EOF=×3×3
（3）解：作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图， ∵PF=PF′，
∴PE+PF=PE+PF′=EF′，此时EP+FP最小， ∵OF′=OF=OE， ∴∠F′=∠OEF′，
而∠AOE=∠F′+∠OEF′=60°， ∴∠F′=30°， ∴∠F′=∠EAF′， ∴EF′=EA=3
，
， OF′=OA=，
． ，
，
即PE+PF最小值为3在Rt△OPF′中，OP=在Rt△ABO中，OB=∴BP=2
﹣
=
×6=2
即当PE+PF取最小值时，BP的长为
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”．也考查了等腰三角形的性质和最短路径问题．