内容发布更新时间 : 2024/9/22 12:34:10星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
问题32 与圆有关的最值问题
一、考情分析
通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐. 二、经验分享
1. 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
y－b(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝x－a型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值
问题；③形如(x－a)＋(y－b)型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题． 2.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 三、知识拓展
1.圆外一点P到圆C上点的距离距离的最大值等于，最小值等于PC?r.
2.圆C上的动点P到直线l距离的最大值等于点C到直线l距离的最大值加上半径，最小值等于点C到直线l距离的最小值减去半径.
3.设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为四、题型分析
(一) 与圆相关的最值问题的联系点 1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题
利用公式k＝tan?(?≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起,通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.
.
2
2
处理方法：直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范
?π??π??π??????围时,要分?0，2?与?2，π?两种情况讨论．由正切函数图象可以看出,当α∈??0，2?时,斜率k∈[0,＋
π?π?
?∞)；当α＝2时,斜率不存在；当α∈?2，π??时,斜率k∈(－∞,0)． 【例1】坐标平面内有相异两点
,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( ).
A．??????,? B．44?? C．
D．???3??,? 44??【答案】C 【解析】
,所以倾斜角?的范围为0???,且kAB?0.设直线的倾斜角为?,当0?kAB?1时,
则的范围为
?4.当时,则
,所以倾斜角?3?????. 4【点评】由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tan x的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数y＝tan x的单调性求k的范围． 【小试牛刀】若过点
的直线与圆x2?y2?4有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）
??????0 ， 0 ， A．? ? B．?6?3?????????? ? D．?0 ， ? C. ?0 ，6?3???【答案】B 【解析】当过点
的直线与圆x?y?4 相切时,设斜率为k,则此直线方程为
22,即.由圆心到直线的距离等于半径可得,求得
k?0或k?3,故直线的倾斜角的取值范围是[0,],所以B选项是正确的.
31.2 与距离有关的最值问题
在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.
?
【例2】 过点M?1,2?的直线l与圆C：直线l的方程是 ． 答案:
交于A,B两点,C为圆心,当?ACB最小时,
解析：要使?ACB最小,由余弦定理可知,需弦长AB最短.要使得弦长最短,借助结论可知当M?1,2?为弦的
?所在直线的中点时最短.因圆心和M?1,2.
,则所求的直线斜率为?1,由点斜式可得
【点评】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解．此题通过两次转化,最终转化为求过定点的弦长最短的问题. 【例3】若圆C：长的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】圆C：圆C：即a=b+3．
点（a,b）与圆心的距离,
所以点（a,b）向圆C所作切线长：
当且仅当b=-1时弦长最小,为4
【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题,解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形．
【小试牛刀】【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】已知抛物线
上一点
最小值为（ ） A．
B．
C．
D．
到焦点的距离为，
分别为抛物线与圆
上的动点，则
的
,
化为（x+1）2+（y-2）2=2,圆的圆心坐标为（-1,2）半径为2．
关于直线2ax+by+6=0对称,所以（-1,2）在直线上,可得-2a+2b+6=0,
关于直线
对称,则由点(a,b)向圆C所作的切线