内容发布更新时间 : 2024/5/18 13:45:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答 （6月14日上午8:30??11:30）

一、

填空题

1、若三位数n?abc是一个平方数，并且其数字和a?b?c也是一个平方数，则称n为

超级平方数，这种超级平方数的个数是 ． 答案：13个．

解：可顺次列举出：100,121,144,169,196,225,324,400,441,484,529,900,961．

2、函数y?8x?x2?14x?x2?48的最大值是 ．

答案：23．

解：y?x(8?x)?(x?6)(8?x)?8?x?x?x?6??68?x，

x?x?6其定义域为6?x?8，当x?6时，此分式的分子最大而分母最小，这时分式的值达最大，其值为23．

3、直线l过点M(1,2)，若它被两平行线4x?3y?1?0与4x?3y?6?0所截得的线段长为

2，则直线l的方程为 ．

答案：x?7y?15或者7x?y?5．

解：设l的方程为y?2?k(x?1)，将此方程分别与4x?3y?1?0及4x?3y?6?0联立，解得交点坐标A??3k?7?5k?8??3k?12?10k?8?,B,与???，据AB?2， 3k?43k?43k?43k?4????25(k2?1)1?5??5k?k?7得?，即，所以，，分别代入所设方程，??2?2k??12???27?3k?4??3k?4??3k?4?22得到x?7y?15或者7x?y?5．

13?? ． 00sin10cos104、

答案：4．

13cos100?sin10013sin300cos100?cos300sin10022??4??4解： sin100cos1002sin100cos1002sin100cos100sin200?4??4．

sin2005、满足1?x2?x的实数x的取值范围是 ．

??2??． 2?答案：??1,解：用图像法：令y?1?x2，此为单位圆的上半圆，它与直线y?x交点??半圆位于交点左侧的图像皆在直线y?x上方；或者三角函数代换法：

11?,?，?22?因?1?x?1，令x?cos?,0????，则y?sin?，由条件式1?x2?x，平方得2x2?1，则

?12?x?，又有x?cos???1，因此x???1,?．

22??6、若实数x,y,z?0，且x?y?z?30,3x?y?z?50，则T?5x?4y?2z的取值范围是

[]．

答案：?120,130?．

解：T?5x?4y?2z??x?y?z???4x?3y?z??30??4x?3y?z? 因4x?2y??x?y?z???3x?y?z??80，所以T?110?(y?z)，

20?(3x?y?z)?(x?y?z)?2(x?z)，则x?z?10，因x,z非负，于是x?10，

从而由x?y?z?30知，y?z?20，得到T?110?(y?z)?130， （当z?0,x?10,y?20时取得等号）

再由4x?2y?80，y?0，则x?20，所以y?z?30?x?10，于是

（当x?20,y?0,z?10时取得等号），所以120?T?130． T?110?(y?z)?120，

7、在前一万个正整数构成的集合?1,2,L,10000?中，被3除余2，并且被5除余3，被7除余4的元素个数是 ． 答案：95个．

解：对于每个满足条件的数n，数2n应当被3,5,7除皆余1，且为偶数；因此，2n?1应当是3,5,7的公倍数，且为奇数；即2n?1是105的奇倍数，而当n??1,2,L,10000?时，

2n?1??1,2,L,19999?，由于在?1,2,L,19999?中，共有190个数是105的倍数，其中的奇倍

数恰有95个．

8、如图，正四面体ABCD的各棱长皆为2，A1,B1,C1分别是棱DA,DB,DC的中点， ?以D为圆心，1为半径，分别在面DAB,DBC内作弧?并将两弧各分成五等分， A1B1,B1C1，

分点顺次为

B1,Q1,Q2,Q3,Q4,C1，

A1,P1,P2,P3,P4,B1以及

一只甲虫欲从点P1出发，沿四面体表面爬行至点Q4，则其 爬行的最短距离为 ． 答案：2sin420．

解：作两种展开，然后比较；

0?由于?A1B1被A1,P1,P2,P3,P4,B1分成五段等弧，每段弧对应的中心角各为12，B1C1被

B1,Q1,Q2,Q3,Q4,C1分成五段等弧，每段弧对应的中心角也各为120，

若将?DBC绕线段DB旋转，使之与?DAB共面，这两段弧均重合于以D为圆心，半径

?对应的圆心角为8?120?960，此时，点P,Q之间直线距离为2sin480， 为1的圆周，PQ1414若将?DAB绕线段DA旋转，?DBC绕线段DC旋转，使之皆与?DAC共面，在所得图形

?对应的圆心角为7?120?840，此时，点P,Q之间直线距离为2sin420， 中，PQ1414所以最短距离是2sin420． 二、解答题

2?an?1；证明：数列的任何两项皆互质． 9、正整数数列?an?满足：a1?2,an?1?an证：改写条件为 an?1?1?an(an?1)，从而an?1?an?1(an?1?1)，等等，据此迭代得

an?1?1?anan?1(an?1?1)?anan?1an?2(an?2?1)?L?anan?1La1(a1?1)?anan?1La1，

所以，an?an?1an?2La1?1，因此当k?n，(an,ak)?1．

（25分）H为锐角三角形ABC的垂心，在线段CH上任取一点E，延长CH到F，10、

使HF?CE，作FD?BC，EG?BH，其中D,G为垂足，M是线段CF的中点，O1,O2分别为?ABG,?BCH的外接圆圆心，eO1,eO2为N；

FGHNMED的另一交点

AO1证明：?1?、A,B,D,G四点共圆；

BC?2?、O1,O2,M,N四点共圆；

证：?1?、如图，设EGIDF?K，连AH， 则因AC?BH,EK?BH，AH?BC，

KF?BC，得CA∥EK，AH∥KF，且

O2CH?EF，所以?CAH≌?EKF，AH与KF平行且相等，故AK∥HF，

?KAB?900??KDB??KGB，因此，

KAA,B,D,G四点共圆；

O1GFHMEN?2?、据?1?，BK为eO1的直径，作eO2CP,KP,HP,O1O2，则

B的直径BP，连

CD?BCP??BHP?90，所以CP∥AH，

0O2PHP∥AC，故AHPC为平行四边形，进而得，

因此对角线KP与CF互相平分于M，从而O1,O2,M是?KBP三边PC与KF平行且相等，的中点，KM∥O1O2，