内容发布更新时间 : 2024/11/15 4:50:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

编写Matlab函数实现哈夫曼编码的算法

一、 设计目的和意义

在当今信息化时代，数字信号充斥着各个角落。在数字信号的处理和传输中，信源编码是首先遇到的问题，一个信源编码的好坏优劣直接影响到了后面的处理和传输。如何无失真地编码，如何使编码的效率最高，成为了大家研究的对象。

哈夫曼编码就是其中的一种，哈夫曼编码是一种变长的编码方案。它由最优二叉树既哈夫曼树得到编码，码元内容为到根结点的路径中与父结点的左右子树的标识。所以哈夫曼在编码在数字通信中有着重要的意义。可以根据信源符号的使用概率的高低来确定码元的长度。既实现了信源的无失真地编码，又使得编码的效率最高。

二、 设计原理

哈夫曼编码(Huffman Coding)是一种编码方式，哈夫曼编码是可变字长编码(VLC)的一种。uffman于1952年提出一种编码方法，该方法完全依据字符出现概率来构造异字头的平均长 度最短的码字，有时称之为最佳编码，一般就叫作Huffman编码。

而哈夫曼编码的第一步工作就是构造哈夫曼树。哈夫曼二叉树的构造方法原则如下，假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1、w2、…、wn，则哈夫曼树的构造规则为：

(1) 将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)； (2) 在森林中选出两个根结点的权值最小的树合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；

(3)从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；

(4)重复(2)、(3)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树。

具体过程如下图1产所示：（例）

图1 哈夫曼树构建过程

哈夫曼树构造成功后，就可以根据哈夫曼树对信源符号进行哈夫曼编码。具体过程为先找到要编码符号在哈夫曼树中的位置，然后求该叶子节点到根节点的路径，其中节点的左孩子路径标识为0，右孩子路径标识为1，最后的表示路径的01编码既为该符号的哈夫曼编码。可以知道，一个符号在哈夫曼树中的不同位置就有不同的编码。而且，不同符号的编码长度也可能不一样，它由该结点到父结点的路径长度决定，路径越长编码也就越长，这正是哈夫曼编码的优势和特点所在。它以各符号出现的概率大小将各符号的编码区分开。

例如对上例图中“1”的编码为“100”，“3”的编码为“101”，“5”的编码为“11”。

对于一个信源消息的熵可以以下公式(1)求得：

(1)

其中H(x)表示信源的总信息量，既为信源的熵。p()为信源中一特定符号出现的概率。

三、 详细设计步骤

1) 首先对设计题目进行系统理论分析。由给定的8种可能符号的信源，各种符号发生的概率分别为：0.30、0.16、0.14、0.12、0.10、0.09、0.06、0.04。可以根据哈夫曼树的构造原理得出如下哈夫曼树型结构（图2）:

151.010130.411140.60100.191110.22010.31120.3050.1160.09040.12190.1020.16130.14070.06180.04图2 哈夫曼树

其中每个结点中的上面的整数为结点有编号，下面的小数为该结点的权值，在这里指的各结点的概率。

2) 由以是的哈夫曼树图，根据哈夫曼的编码规则可求该8个输出符号的顺序为：0.30,0.16,0.14,0.12,0.10,0.09,0.06,0.04对应编码输出应该为：1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1，编码长度为25。