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2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）解析版

数学Ⅰ

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．1. 已知集合A={?2,?1,3,4}，B?{?1,2,3}，则A?B? ▲ . 2. 已知复数z?(5?2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图，则输出的n的值是 ▲ . 开始 n?0 n?n?1 2n?20 N Y 输出n 结束

4. 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲ . 5. 已知函数y?cosx与y?sin(2x??)(0≤???)，它们的图象有一个横坐标为是 ▲ .

6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.

频率 组距0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 （第3题）

?3的交点，则?的值

80 90 100 110 120 130 底部周长/cm

7. 在各项均为正数的等比数列{an}中，a2?1,a8?a6?2a4，则a6的值是 ▲ . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且则

V1的值是 ▲ . V2S19?，S24（第6题）

9. 在平面直角坐标系xOy中，直线x?2y?3?0被圆(x?2)2?(y?1)2?4截得的弦长 为 ▲ .

10. 已知函数f(x)?x2?mx?1，若对于任意x?[m,m?1]，都有f(x)?0成立，则实数m的取值范围是 ▲ .

b(a，b为常数)过点P(2,?5)，且该曲线在点P处的x切线与直线7x?2y?3?0平行，则a?b的值是 ▲ . 11. 在平面直角坐标系xOy中，若曲线y?ax2?12. 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB?8，AD?5，CP?3PD，AP?BP?2，则AB?AD的值是 ▲ .

D P C A （第12题）

B

1. 若函数213. 已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x?[0,3)时，f(x)?x2?2x?y?f(x)?a在区间[?3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是 ▲ . 14. 若△ABC的内角满足sinA?2sinB?2sinC，则cosC的最小值是 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明．．．．．．．

过程或演算步骤．

5?15. (本小题满分14分)已知??(,?)，sin??.

52?5?(1)求sin(??)的值； (2)求cos(?2?)的值.

4616. (本小题满分14分)

如图，在三棱锥P?ABC中，D，E，F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA?AC，PA?6，BC?8，DF?5.

求证：(1) 直线PA//平面DEF；

(2) 平面BDE?平面ABC.

PDAFEB（第16题）C

17. (本小题满分14分)

x2y2如图，在平面直角坐标系xOy中，F1,F2分别是椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，顶点B

ab的坐标为(0,b)，连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C.

41(1) 若点C的坐标为(,)，且BF2?2，求椭圆的方程；

33(2) 若F1C?AB，求椭圆离心率e的值.

y B C F1 O F2 A x (第17题) 18. (本小题满分16分)

如图，为了保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区. 规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆. 且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tan?BCO?(1) 求新桥BC的长；

(2) 当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

北 B A 60 m M O 170 m C 东 4. 3（第18题） 19. (本小题满分16分)

已知函数f(x)?ex?e?x，其中e是自然对数的底数. (1) 证明：f(x)是R上的偶函数；

(2) 若关于x的不等式mf(x)≤e?x?m?1在(0,??)上恒成立，求实数m的取值范围；

3(3) 已知正数a满足：存在x0?[1,??)，使得f(x0)?a(?x0?3x0)成立.

试比较ea?1与ae?1的大小，并证明你的结论.

20. (本小题满分16分)

设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn?am，则称{an}是“H数列”.

(1) 若数列{an}的前n项和Sn?2n(n?N?)，证明：{an}是“H数列”； (2) 设{an} 是等差数列，其首项a1?1，公差d?0. 若{an} 是“H数列”，求d的值； (3) 证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an?bn?cn (n?N?)成立.

数学Ⅱ（附加题）

21．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上位于AB异侧的两点． 证明：∠ OCB＝∠ D．

22．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

?2???12??11??α?已知矩阵A??，B，向量 ?y?，x，y为实数．若Aα?Bα，求x＋y的值．??2?1?1x??????(第21—A题)

23．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） ?x?1???在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程??y?2???2t,2(t为参数)，直线l与抛物线

2t;2y2?4x相交于A、B两点，求线段AB的长．

24．[选修4—4：不等式证明选讲]（本小题满分10分） 已知x＞0，y＞0，证明：(1?x2?y)(1?x?y2)≥9xy． 25. (本小题满分10分)

盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． (1) 从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；

(2) 从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1、x2、x3， 随机变量X表示x1、x2、x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)． 26. (本小题满分10分)

sinx(x?0)，设fn(x)是fn?1(x)的导数，n?N*． xπππ(1) 求2f1()?f2()的值；

222已知函数f(x)?πππ2(2) 证明：对于任意n?N*，等式nfn?1()?fn()?都成立．

4442

参考答案

一、选择题 1．【答案】{?1,3} 解析：由题意得AB?{?1,3}

【考点】交集、并集、补集 (B). 【答案】{?1,3}

【解析】根据集合的交集运算，两个集合的交集就是所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，公共的元素为-1和3，所以答案为{?1,3}

【点评】本题重点考查的是集合的运算，容易出错的地方是审错题目，把交集运算看成并集运算。属于基础题，难度系数较小。 2．【答案】21

解析：由题意z?(5?2i)2=25+20i?4?21?20i，其实部为21. 【考点】复数的概念 (B). 【答案】21

【解析】根据复数的乘法运算公式，z?(5?2i)2?52?2?5?2i?(2i)2?21?20i，实部为21，虚部为-20。

2【点评】本题重点考查的是复数的乘法运算公式，容易出错的地方是计算粗心，把i??1算为1。

属于基础题，难度系数较小。 3．【答案】5

解析：本题实质上就是求不等式2n?20的最小整数解，2n?20整数解为n?5，因此输出的n?5. 【考点】流程图 (A). 【答案】5

n【解析】根据流程图的判断依据，本题2?20是否成立，若不成立，则n从1开始每次判断完后循

环时，n赋值为n?1；若成立，则输出n的值。本题经过4次循环，得到n?5,2?2?32?20，成立，则输出的n的值为5

【点评】本题重点考查的是流程图的运算，容易出错的地方是判断循环几次时出错。属于基础题，难度系数较小。

n514．【答案】

32解析：从1，2，3，6这4个数中任取2个数共有C4?6种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取