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第一篇 静力学

第

1 章静力学公理与物体的受力分析

静力学公理

公理1 二力平衡公理 ：作用于刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等、方向相反且作用于同一直线上。 F=-F’

工程上常遇到只受两个力作用而平衡的构件，称为二力构件或二力杆。

公理 2 加减平衡力系公理 ：在作用于刚体的任意力系上添加或取去任意平衡力系，不改变原力系对刚体的效应。

推论 力的可传递性原理 ：作用于刚体上某点的力，可沿其作用线移至刚体内任意一点，而不改变该力对刚体的作用。

公理3 力的平行四边形法则 ：作用于物体上某点的两个力的合力，也作用于同一点上，其大小和方向可由这两个力所组成的平行四边形的对角线来表示。 推论 三力平衡汇交定理 ：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。

公理4 作用与反作用定律 ：两物体间相互作用的力总是同时存在，且其大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个物体上。

公理5 钢化原理 ：变形体在某一力系作用下平衡，若将它钢化成刚体，其平衡状态保持不变。对处于平衡状态的变形体，总可以把它视为刚体来研究。 约束及其约束力 １．柔性体约束

２．光滑接触面约束 ３．光滑铰链约束

第2章 平面汇交力系与平面力偶系

1. 平面汇交力系合成的结果是一个合力,合力的作用线通过各力作用线的汇交点,其大小

和方向可由失多边形的封闭边来表示,即等于个力失的矢量和,即FR=F1+F2+…..+Fn=∑F

2. 矢量投影定理：合矢量在某轴上的投影，等于其分矢量在同一轴上的投影的代数和。 3. 力对刚体的作用效应分为移动和转动。力对刚体的移动效应用力失来度量；力对刚体的

转动效应用力矩来度量，即力矩是度量力使刚体绕某点或某轴转动的强弱程度的物理量。（Mo（F）=±Fh）

4. 把作用在同一物体上大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系称

为力偶，记为（F,F’）。

例2-8

如图（a）所示的结构中，各构件自重忽略不计，在构件AB上作用一力偶，其力偶矩为500kN?m，求A、C两点的约束力。

解 构件BC只在B、C两点受力，处于平衡状态，因此BC是二力杆，其受力如图2-17（b）所示。

由于构件AB上有矩为M的力偶，故构件AB在铰链A、B处的一对作用力FA、FB’构成一力偶与矩为M的力偶平衡（见图2-17（c））。由平面力偶系的平衡方程∑Mi=0，得

﹣Fad+M=0

则有 FA=FB’

N=

由于FA、FB’为正值，可知二力的实际方向正为图2-17（c）所示的方向。 根据作用力与反作用力的关系，可知FC=FB’=，方向如图2-17（b）所示。

第3章 平面任意力系

1． 合力矩定理：若平面任意力系可合成为一合力。则其合力对于作用面内任意一点之矩等

于力系中各力对于同一点之矩的代数和。

2． 平面任意力系平衡的充分和必要条件为：力系的主失和对于面内任意一点Q的主矩同时

为零，即FR`=0,Mo=0.

3． 平面任意力系的平衡方程: ∑Fx=0, ∑Fy=0, ∑Mo(F)=0.平面任意力系平衡的解析条

件是,力系中所有力在作用面内任意两个直角坐标轴上投影的代数和分别等于零,各力对于作用面内任一点之矩的代数和也是等于零.

例3-1

如图3-8（a）所示，在长方形平板的四个角点上分别作用着四个力，其中F1=4kN，F2=2kN，F3=F4=3kN，平板上还作用着一力偶矩为M=2kN·m的力偶。试求以上四个力及一力偶构成的力系向O点简化的结果，以及该力系的最后合成结果。

解 （1）求主矢FR’，建立如图3-8（a）所示的坐标系，有

F’Rx=∑Fx=﹣F2cos60°+F3+F4cos30°= F’Ry=∑Fy=F1－F2sin60°+F4sin30°=

所以，主矢为 F’R=

主矢的方向

cos（F’R,i）= cos（F’R,j）=

=

=, ∠(F’R，i)=° =，∠（F’R，j）=°

（2）求主矩，有

M0=∑M0（F）=M+2F2cos60°－2F2+3F4sin30°=·m

由于主矢和主矩都不为零，故最后的合成结果是一个合力FR，如图3-8（b）所示，FR=F’R，合力FR到O点的距离为

d=

=0.421m

例3-10

连续梁由AC和CE两部分在C点用铰链连接而成，梁受载荷及约束情况如图3-18（a）所示，其中M=10kN·m，F=30kN，q=10kN/m，l=1m。求固定端A和支座D的约束力。

解 先以整体为研究对象，其受力如图3-18（a）所示。其上除受主动力外，还受固定端A处的约束力Fax、Fay和矩为MA的约束力偶，支座D处的约束力FD作用。列平衡方程有

∑Fx=0，Fax－Fcos45°=0

∑Fy=0，FAy－2ql+Fsin45°+FD=0

∑MA（F）=0，MA+M－4ql 2+3FDl+4Flsin45°=0

以上三个方程中包含四个未知量，需补充方程。现选CE为研究对象，其受力如图3-（b）所示。以C点为矩心，列力矩平衡方程有

∑MC（F）=0，－ql 2+FDl+2Flsin45°=0联立求解得 FAx=，Fay=，MA=·m，FD=﹣

第4章 考虑摩擦的平衡问题

1. 摩擦角：物体处于临界平衡状态时，全约束力和法线间的夹角。tanψm=fs

2. 自锁现象：当主动力即合力Fa的方向、大小改变时，只要Fa的作用线在摩擦角内，C

点总是在B点右侧，物体总是保持平衡，这种平衡现象称为摩擦自锁。

例4-3

梯子AB靠在墙上，其重为W=200N，如图4-7所示。梯长为l，梯子与水平面的夹角为θ=60°已知接触面间的摩擦因数为。今有一重650N的人沿梯上爬，问人所能达到的最高点C到A点的距离s为多少？

解 整体受力如图4-7所示，设C点为人所能达到的极限位置，此时

FsA=fsFNA，FsB=fsFNB ∑Fx=0，FNB-FsA=0

∑Fy=0，FNA+FsB-W-W1=0

∑MA（F）=0，-FNBsinθ-FsBlcosθ+Wcosθ+W1scosθ=0

联立求解得 S=0.456l

第5章 空间力系

1. 空间汇交力系平衡的必要与充分条件是:该力系的合力等于零,即FR=∑Fi=0

2. 空间汇交力系平衡的解析条件是:力系中各力在三条坐标轴上投影的代数和分别等于

零.

3. 要使刚体平衡,则主失和主矩均要为零,即空间任意力系平衡的必要和充分条件是:该力

系的主失和对于任一点的主矩都等于零,即FR`=∑Fi=0,Mo=∑Mo(Fi)=0

4. 均质物体的重力位置完全取决于物体的几何形状,而与物体的重量无关.若物体是均质

薄板,略去Zc,坐标为xc=∑Ai*xi/A,yc=∑Ai*yi/A 5. 确定物体重心的方法 (1) 查表法

(2) 组合法:①分割法;②负面积(体积)法 (3) 实验法

例5-7

试求图5-21所示截面重心的位置。

解 将截面看成由三部分组成：半径为10mm的半圆、50mm×20mm的矩形、半径为5mm的圆，最后一部分是去掉的部分，其面积应为负值。取坐标系Oxy，x轴为对称轴，则截面重心C必在x轴上，所以yc=0.这三部分的面积和重心坐标分别为

A1=

mm 2=157mm 2,x1=-=-4.246mm，y1=0

A2=50×20mm 2=1000mm 2，x2=25mm，y2=0 A3=-π×5 2mm 2=-78.5mm 2，x3=40mm，y3=0 用负面积法，可求得 Xc=

=

第二篇 运动学 第6章 点的运动学

直角坐标法

运动方程 x=f(t) y=g(t) z=h(t) 消去t可得到轨迹方程 f（x,y,z）=0 其中 例题6 -1 椭圆规机构如图6-4（a）所示，曲柄oc以等角速度w绕O转动，通过连杆AB带动滑块A、B在水平和竖直槽内运动，OC=BC=AC=L 。求：（1）连杆上M点（AM=r）的运动方程；（2）M点的速度与加速度。 解：（1）列写点的运动方程

由于M点在平面内运动轨迹未知，故建立坐标系。点M是BA杆上的一点，该杆两端分别被限制在水平和竖直方向运动。曲柄做等角速转动，Φ=wt 。由这些约束条件写出M点运动方程x=(2L-r)coswt y=rsinwt 消去t 得轨迹方程：（x／2L-r）2+（y/x）2=1

（2）求速度和加速度

对运动方程求导，得 dx/dt=-(2L-r)wsinwt dy/dt=rsinwt 再求导a1=-(2L-r)w2coswt a2=-rw2sinwt 由式子可知a=a1i+a2j=-w2r

自然法

2.自然坐标系：b=t×n 其中b为副法线 n为主法线 t

3.点的速度 v=ds/dt 切向加速度 at=dv/dt 法向加速度 an=v2/p

习题6-10 滑道连杆机构如图所示，曲柄OA长r，按规律θ=θ’+wt 转动（θ以rad计，t以s计），w为一常量。求滑道上C点运动、速度及加速度方程。 解：

第七章 刚体的基本运动

刚体的平行运动：刚体平移时，其内所有各点的轨迹的形状相同。在同一瞬时，所有各点具有相同的速度和相同的加速度。刚体的平移问题可归结为点的运动问题。 刚体的定轴转动：瞬时角速度 w=lim△θ∕△t=dθ/dt

瞬时角加速度a=lim△w∕△t=dw/dt=d2θ/dt2

转动刚体内任一点速度的代数值等于该点至转轴的距离与刚体角速度的乘积 a=√(a2 +b2)=R√(α2+w2) θ=arctan|a|/b =arctan|α|/w2

转动刚体内任一点速度和加速度的大小都与该点至转轴的距离成正比。

例题7-1如图所示平行四连杆机构中，O1A=O2B=0.2m ,O1O2=AB=0.6m ,AM=0.2m ,如O1A按φ=15πt的规律转动，其中φ以rad计，t以s计。试求t=时，M点的速度与加速度。 解：在运动过程中，杆AB始终与O1O2平行。因此，杆AB为平移，O1A为定轴转动。根据平移的特点，在同一瞬时M、A两点具有相同的速度和加速度。A点做圆周运动，它的运动规律为 s=O1A·φ=3πt m

所以 VA=ds/dt=3π m/s atA=dv/dt=0 anA= (V A) 2/O1A=45 m/s 为了表示Vm 、am 的2，需确定t=时，AB杆的瞬时位置。当t=时，s=πm

O1A=0.2m , φ=π/=12π,AB杆正好第6次回到起始位置O点处，Vm 、am的方向如图所示。

第8章点的合成运动

合成运动的概念：相对于某一参考系的运动可由相对于其他参考系的几个运动组合而成，这种运动称为合成运动。

当研究的问题涉及两个参考系时，通常把固定在地球上的参考系称为定参考系，简称定系。吧相对于定系运动的参考系称为动参考系，简称动系。研究的对象是动点。动点相对于定参考系的运动称为绝对运动；动点相对于动参考系的运动称为相对运动；动参考系相对于定参考系的运动称为牵连运动。动系作为一个整体运动着，因此，牵连运动具体有刚体运动的特点，常见的牵连运动形式即为平移或定轴转动。

动点的绝对运动是相对运动和牵连运动合成的结果。绝对运动也可分解为相对运动和牵连运动。在研究比较复杂的运动时，如果适当地选取动参考系，往往能把比较复杂的运动分解为两个比较简单的运动。这种研究方法无论在理论上或实践中都具有重要意义。

动点在相对运动中的速度、加速度称为动点的相对速度、相对加速度，分别用vr和ar

表示。动点在绝对运动中的速度、加速度称为动点的绝对速度和绝对加速度，分别用va和aa表示。换句话说，观察者在定系中观察到的动点的速度和加速度分别为绝对速度和绝对加速度；在动系中观察到动点的速度和加速度分别为相对速度和相对加速度。

在某一瞬时，动参考系上与动点M相重合的一点称为此瞬时动点M的牵连点。如在某瞬