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习题7.4

习题7.4.1设A是一个n阶下三角矩阵。证明：

（1）如果A的对角线元素aii?ajj(i,j?1,2,?,n)，则A必可对角化； （2）如果A的对角线元素a11?a22???ann，且A不是对角阵，则

A不可对角化。

证明：（1）因为A是一个n阶下三角矩阵，所以A的特征多项式为|?E?A|?(??a11)(??a22)?(??ann)，又因aii?ajj(i,j?1,2,?,n)，所以A有即A有n个线性无关的特征向量，以这n个线性无n个不同的特征值，

关的特征向量为列构成一个可逆阵P，则有P?1AP为对角阵，故A必可对角化。

??1????2??（2）假设A可对角化，即存在对角阵B??，使得A??????n???与B相似，进而A与B有相同的特征值?1,?2,?,?n。又因为矩阵A的特征多项式为|?E?A|?(??a11)n，所以?1??2????n?a11，从而

?a11??B?????a22?????a11E，于是对于任意非退化矩阵X，都有??ann??X?1BX?X?1a11EX?a11E?B，而A不是对角阵，必有X?1BX?B?A，与

假设矛盾，所以A不可对角化。

习题7.4.2设n维线性空间V的线性变换?有s个不同的特征值

?1,?2,?,?s，Vi是?i的特征子空间(i?1,2,?,s)。证明：

（1）V1?V2???Vs是直和；

（2）?可对角化的充要条件是V?V1?V2???Vs。 证明：（1）取V1?V2???Vs的零向量0，写成分解式有

i?1,2,?,s。其中?i?Vi，现用?,?2,?,?s?1?1??2????s?0，

分别作用分解式两边，可得

??1??2????s?0????????????0?1122ss。 ????????s?1s?1s?1???1?1??2?2????s?s?0写成矩阵形式为

s?1?1?1??1???s?1?1?2??2??(0,0,?,0)。 (?1,?2,?,?s)????????1???s?1?ss??s?1?1?1??1???s?1?1?2??2?由于?1,?2,?,?s是互不相同的，所以矩阵B??的行列式不???????1???s?1?ss??为零，即矩阵B是可逆的，进而有

(?1,?2,?,?s)BB?1?(0,0,?,0)B?1?(0,0,?,0)，(?1,?2,?,?s)?(0,0,?,0)。

这说明V1?V2???Vs的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得

V1?V2???Vs是直和。

i?1,2,?,s都是V的子空间，（2）(?)因Vi，所以有V?V1?V2???Vs。

又因?可对角化，所以?有n个线性无关的特征向量，它们定属于某一特征值，即它们都属于V1?V2???Vs。对任意的??V，一定可由n个线性无关的特征向量线性表示，所以??V1?V2???Vs，即得

V?V1?V2???Vs成立，故有V?V1?V2???Vs。

(?)因V?V1?V2???Vs，所以分别取Vi(i?1,2,?,s)的基：

?i1,?i2,?,?id，i?1,2,?,s，其中d1?d2???ds?n，进而得V的基：

i?11,?12,?,?1d,?21,?22,?,?2d,?,?s1,?s2,?,?sd。又知基向量中的每一个向

12s量都是?的特征向量，故得?有n个线性无关的特征向量，所以?可对角化。

习题7.4.3设D是n阶对角阵，它的特征多项式为

?D(?)?(???1)c1(???2)c2?(???s)cs，

其中?1,?2,?,?s两两不同。设

V?{B?Mn(F)|BD?DB}，

证明：V是Mn(F)的子空间，且

2dimV?c12?c2???cs2。

证明：对?A,B?V，即AD?DA，BD?DB，?k,l?F，有

(kA?lB)D?(kA)D?(lB)D?k(AD)?l(BD)?k(DA)?l(DB)?D(kA?lB)，

所以kA?lB?V，即V是Mn(F)的子空间。

??1Ec1??设D??????2Ec2????，则由习题3.2.2知与D可交换的矩???sEcs??B2????，其中Bi为ci阶方阵，??Bs???B1??阵只能是准对角矩阵，即B??????B1??i?1,2,?,s。进而对?B?????B2???都可由i行，j列元素为1，??V，??Bs??其余元素全为零的n阶方阵