内容发布更新时间 : 2024/11/8 13:45:06星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1、有限元方法与传统力学方法的比较，有限元的一般概念及基本思路。叙述有限元方法的基本步骤。

答：比较：运用有限元方法解决工程实际问题时，不管是简单结构或者是复杂的结构，其求解过程是完全相同的，由于每个步骤都具有标准化和规范性的特征，可以在计算机上进行编程而自行实现，这是常规解析方法无法实现的。即技术核心所在就是采用分段离散的方式来组合出全场几何域上的试函数，而不是直接寻找全场上的试函数。 概念：有限元方法是求解各种复杂数学物理问题的重要方法，是处理各种复杂工程问题的重要分析手段，也是进行科学研究的重要工具。该方法的应用和实施包括三个方面：计算原理、计算机软件、计算机硬件。 有限元方法的基本思路：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。（在具备大规模计算能力的前提下，将复杂的几何物体等效离散为一系列的标准形状几何体，再在标准的几何体上研究规范化的试函数表达及其全场试函数的构建，然后利用最小势能原理建立起力学问题的线性方程组。）

有限单元法解题步骤：①结构的离散化，即单元网格划分；②选择位移模式；③分析单元的力学特征，利用几何方程导出结点位移表示的单元应变，利用本构方程建立单元内任意一点的应力与应变的关系，利用变分原理建立单元的平衡方程；④集合所有单元的平衡方程，建立整个结构的平衡方程（即总的平衡方程），包括将刚度集成总刚，以及将单元的等效结点力列阵集成总的荷载列阵；⑤求解结点位移和计算单元应力，包括边界条件修正； ⑥解方程，得到未知问题的节点值；⑦后处理。

2、掌握位移函数和形函数的概念，掌握二者之间的关系。

答：位移函数：是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐标的函数，由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而必须事先设定位移函数。在弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。这正是有限单元法具有的重要优势之一。

形函数：是用单元节点位移分量来描述位移函数的插值函数。将外加分布力，转

eu(x)=N(x)q换成集中力与弯矩，分别施加在各节点上。二者关系式：

掌握两者之间的关系就是会计算2维情况三角形单元以及四点矩形单元的形函

数的计算与推导。

eu(x)=N(x)q二者关系式：

3、位移函数的概念，形函数的意义和性质。

答：位移函数：是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐标的函数，由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而必须事先设定位移函数。在弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。这正是有限单元法具有的重要优势之一。

形函数：是用单元节点位移分量来描述位移函数的插值函数。将外加分布力，转

eu(x)=N(x)q换成集中力与弯矩，分别施加在各节点上。二者关系式：

形函数的性质：

1、形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点上的值等于0； 2、在单元中任一点，所有形函数之和等于1； 3、在三角形单元的边界ij上任一点（x，y），有 x?xix?xiNi(x,y)?1?Nj(x,y)?Nm(x,y)?0 xj?xixj?xi4、形函数在单元上的面积分和在边界上的线积分公式为

A??ANidxdy?31?ijNidl?2ij式中ij为ij边的长度。

4、平面应力问题和平面应变问题有什么不同？

答：设有很薄的等厚度板，所受外力全部作用在（Oxy）平面，且不随z变化，这种状况叫做平面应力。特点是轴向尺寸比横截面尺寸要小得多。

设有一无限长的等截面柱形体，所承受的外载不随z变化，这种状况叫做平面应变。特点是轴向尺寸比横截面尺寸要大得多。

不同：由两种平面问题（平面应力和平面应变）的比较可知，除物理方程外，其他方程完全相同，若将平面应力问题的物理方程中的E换成E/(1-u2),u换成u/(1-u)，则可得到平面应变问题的物理方程。 5、掌握迦辽金加权余量法的计算。

答：加权余量法求解流程：1）初步选取尝试函数、构造近似解；2）结合问题的边界条件对尝试函数进行修正，以简化求解；3）写出加权余数表达式（迦辽金方法选取加权函数）；4）令权余数表达式在各尝试函数下为0，得到代数方程组，解之得到待定系数，从而确定近似解。 6、掌握一般问题的变分，求解欧拉方程。

答：函数的变分就是任意小的变化，泛函就是自变量是函数的函数。在所有满足边界条件的这些解中，正确解使泛函取驻值，这就是变分原理。 7、欧拉伯努利梁（经典梁单元）和铁木辛科梁单元特点和区别？

答：经典梁单元：忽略了剪切变形和转动惯量，认为初始垂直于中性轴的截平面在变形时仍保持为平面，垂直于中性轴。适用于梁高度远小于跨度的情况。 铁木辛柯梁：位移挠度的一阶导数连续，如果对挠度函数和截面转角进行独立插值，并且考虑剪切变形的影响，这样所构造出来的梁单元。

区别：经典梁基于平截面假定，弯曲是主要变形，忽略剪切变形的影响。铁木辛柯梁考虑梁的剪切变形的影响，即梁变形后的横截面不再垂直于中性层的情况，而且挠度函数和截面转角都是独立插值的。

8、总刚存储都有哪些方法？半带宽的计算方法？ 答： 带宽：反应非零数据集中程度的一个指标。

1、全矩阵存贮法：不利于节省计算机的存贮空间，很少采用。K[i,j] 2、对称三角存贮法：存贮上三角或下三角元素。

3、半带宽存贮法 ：存贮上三角形（或下三角形）半带宽以内的元素 。

4、一维压缩存贮法 ：半带宽存贮中仍包含了许多零元素。存贮每一行的第一个非零元素到主对角线元素。

半带宽计算：设结构单元网格中相邻结点编号的最大差值是d，则最大半带宽为UBW：UBW?(d?1)?ndf,ndf为一个结点的自由度数

结点编号：欲使最大半带宽UBW最小，必须注意结点编号方法，使直接联系的相邻节点的最大点号差最小。 例如：

B = 2(4-1+1) = 8 B = 2(6-1+1) = 12 半宽带的计算：

di=(第i个单元中节点编号的最大差值+1)?? 则整体刚度矩阵的最大半宽带为

d=max{di} (i=1,2,3,4???,n)i

对于2D问题，?=2，对于3D问题，?=3

9、平面问题常用的单元形式有哪些？平面三角形单元的主要特征？与四边形单元相比精度如何？

答：单元形式：3节点三角形单元，4节点矩形单元 特性：

1、平面三节点三角形单元的应变矩阵和应力矩阵为常系数矩阵，这种单元在单元内任意一点的应变和应力都相同，因此称为常应变单元； 2、单元的位移场为线性关系，为常系数。

与四边形比：平面三节点单元对于应变梯度较大的区域，单元划分应适当密集，否则不能反映出应变的真实变化，从而导致较大的误差。而四节点矩形单元为双线性位移模式，其应变和应力为一次线形变化，这种单元的位移模式是完备和协调的，因而比三节点常应变单元的精度高。

10、掌握刚度矩阵的特性。 答：单元刚度矩阵[k]的性质：①单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义例如，kij表示单元第j个自由度产生单位位移(j=1)，其他自由度固定（=0）时，在第i个自由度产生的节点力Fi；②每一行或每一列元素之和为零；③对称矩阵；④奇异矩阵，即[k]的行列式为零；⑤常量矩阵。

Kij的物理意义：表示仅第j个自由度发生单位广义位移时所引起的第i个自由度广义力，它反应了单元抵抗变形的能力。由于刚体位移不引起内力，因此同一行或同一列的系数之和为零。

整体刚度矩阵[K]的特性：①对称性；②Kii >0；③稀疏；④带状矩阵；⑤奇异；⑥正定；⑦各列相加等于零。