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九年级数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系人教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容：

垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 ［学习目标］

1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。 2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。（M点是两点重合的一点，代表两层意义）

3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM，在Rt△AOM中，AO为圆半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形

的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该Rt△AOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。

4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。

5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。 (1)?(2)?(3)?(4)

6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。

7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。 二. 重点、难点： 垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。 C O M

B

D

所示：

11

AB=?12=6(cm) 22

由垂径定理知：AE=BE=6cm

∴OE=

∴△AOE、△BOE为等腰直角三角形 ∴∠AOB＝90°

由△AOE是等腰直角三角形 ∴OA=62，AE=6 即⊙O的半径为62cm

点拨：作出弦（AB）的弦心距（OE），构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键。 例2. 如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为a，b。 求证：AD·BD=a-b

证明：作OE⊥AB，垂足为E，连OA、OC 则OA=a，OC=b

在Rt?AOE中，AE2=OA2-OE2 在Rt?COE中，CE=OC-OE ∴AE-CE=OA-OE 2 2 22 222 ( 22

)-(OC 2 -OE2 )

=OA2-OC2 2 2 =a-b 22

即(AE+CE)(AE-CE)=a-b CE=ED,AC=BD ∴AE+CE=AE+ED=AD AE-CE=AC=BD 22

即AD?BD=a-b

点拨：本题应用垂径定理，构造直角三角形，再由勾股定理解题，很巧妙。 例3. ⊙O的直径为12cm，弦AB垂直平分半径OC，那么弦AB的长为（ ） A. 3cm B. 6cm

C. 63cm D. 123cm

（2001年辽宁）

解：圆的半径为6cm，半径OC的一半为3cm，故弦的长度为 26-3=232-1=63(cm) 故选C。

例4. 如图所示，以O为圆心，∠AOB＝120°，弓形高ND＝4cm，

O 2 2 2

【典型例题】

例1. 已知：在⊙O中，弦AB＝12cm，O点到AB的距离等于AB的一半，求：∠AOB的度数和圆的半径。

点悟：本例的关键在于正确理解什么是O点到AB的距离。 解：作OE⊥AB，垂足为E，则OE的长为O点到AB的距离，如图

2

?AB矩形EFGH的两顶点E、F在弦AB上，H、G在上，且EF＝4HE，求HE的长。

解：连结AD、OG

在△ABC中，AB＜AC＋BC ∴AB＜2AC 故选D。

点拨：本题考察弦、弧、圆心角之间的关系，要正确理解三者之间的关系定理。 11

∠AOD=∠AOB=?120?=60?