内容发布更新时间 : 2024/10/25 2:24:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

7.3.3 余弦函数的性质与图像

(教师独具内容)

课程标准：1.借助单位圆理解余弦函数的定义以及周期性、奇偶性、单调性等性质.2.能用五点法画出余弦函数的图像，利用诱导公式和正弦函数图像的平移得到余弦函数的图像，利用图像研究余弦函数的性质．

教学重点：掌握余弦函数的性质． 教学难点：余弦函数性质的综合运用.

【知识导学】

知识点一 余弦函数的图像

(1)对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cosx与之对应，所以y＝cosx是一个函数，

01余弦函数，函数y＝cosx的图像称为□02余弦曲线． 一般称为□(2)余弦曲线

知识点二 余弦函数的性质

函数 定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性 y＝cosx 01R □02[－1,1] □03偶函数 □042kπ(k∈Z，k≠0)为周期，□052π为最小正周期 以□06[(2k－1)π，07[2kπ，当x∈□2kπ](k∈Z)时，递增；当x∈□(2k＋1)π](k∈Z)时，递减 最大值与最小值 【新知拓展】

1．用“五点法”和变换法作函数y＝Acos(ωx＋φ)的图像，求这个函数的最大值、最小值、周期以及单调区间等，方法与y＝Asin(ωx＋φ)是类似的．

π2．余弦曲线y＝cosx是把正弦曲线向左平移个单位长度而得到的，相应地，对称中心、

2π

对称轴、单调区间都是向左平移个单位长度，可以结合正弦曲线来掌握余弦曲线的特性．由

2于是曲线向左平移，周期性不改变，最值不改变．

- 1 -

082kπ(k∈Z)时，最大值为□091；当x＝□10(2k＋1)π(k当x＝□11－1 ∈Z)时，最小值为□3．(1)函数y＝sin(x＋φ) 当φ＝kπ时是奇函数； 当φ＝π

2＋kπ时是偶函数．

(2)函数y＝cos(x＋φ) 当φ＝kπ时是偶函数； 当φ＝kπ＋π

2

时是奇函数．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)余弦函数是偶函数，且与y轴只有一个交点．( ) (2)将余弦曲线向左平移3π

2

个单位得到正弦曲线．( )

(3)在区间[0,2π]上，函数y＝cosx当且仅当x＝0时取得最大值1.( 答案 (1)√ (2)√ (3)× 2．做一做

(1)下列区间中，使函数y＝cosx为增函数的是( ) A．[0，π]

B.?

?π?2，3π2???

C.??ππ?－2，2???

D．[π，2π]

(2)下列函数中，周期为π

2的是( )

A．y＝sinx2

B．y＝sin2x C．y＝cosx4

D．y＝cos4x

(3)函数y＝cosx图像的一条对称轴方程是( ) A．x＝0 B．x＝π4

C．x＝π2

D．x＝3π4

(4)余弦函数y＝cosx取最大值时，x的取值的集合为________． 答案 (1)D (2)D (3)A (4){x|x＝2kπ，k∈Z}

) - 2 -

题型一 余弦函数的图像

例1 用“五点法”画出函数y＝2cos2x的简图． 2π

[解] 因为y＝2cos2x的周期T＝＝π，

2

所以先在区间[0，π]上按五个关键点列表，描点，并用光滑的曲线将它们连接起来． 如图．

x 2x cos2x 2cos2x

0 0 1 2 π 4π 20 0 π 2π －1 －2 3π 43π 20 0 π 2π 1 2

然后把y＝2cos2x在[0，π]上的图像向左、右平移，每次平移π个单位长度，则得y＝2cos2x在R上的图像．

金版点睛

函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像的画法

(1)五点法 列表如下：

x ωx＋φ －φ ωπφ－ 2ωωπ 20 πφ－ ωωπ 3πφ－ 2ωω3π 20 2πφ－ ωω2π 0 y＝Acos(ωx＋φ) (2)图像变换法 A －A A 由y＝sinx→y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换过程，可以得到y＝cosx→y＝Acos(ωx＋φ)的图像变换也有先平移后伸缩和先伸缩后平移两种途径．

π?[跟踪训练1] 用五点法画出函数y＝cos?2x－，x∈[0，π]的图像． ?3???解 ①列表：

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