内容发布更新时间 : 2024/10/19 22:21:29星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
考研数学基础班概率统计讲义 第一章 随机事件与概率
考研数学基础班概率统计讲义—汤家凤
一、随机试验与随机事件 （一）基本概念
1、随机试验—具备如下三个条件的试验：
（1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。
（3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E。
2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。 3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。 （二）事件的运算
1、事件的积—事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A,B的积，记为AB。 2、事件的和—事件A或者事件B发生,称为事件A,B的和事件，记为A??B。 3、事件的差—事件A发生而事件B不发生,称事件A,B的差事件，记为A??B。 （三）事件的关系 1、包含—若事件A发生则事件B一定发生，称A包含于B，记为A??B。若A??B且B??A，称两事件相等，记A??B。 2、互斥（不相容）事件—若A与B不能同时发生，即AB????，称事件A,B不相容或互斥。 3、对立事件—若AB????且A??B????称事件A,B为对立事件。 【注解】（1）A??(A??B)??AB，且A??B与AB互斥。 （2）A??B??(A??B)??(B??A)??AB，且A??B,B??A,AB两两互斥。 （四）事件运算的性质 1、（1）AB??A(或B)??A??B； 2、（1）A??A??A,A??A??A； （2）A??(B??C)??(A??B)??(A??C),A??(B??C)??(A??B)??(A??C)； 3、（1）A??(A??B)??A； （3）A??B??(A??B)??AB??(B??A)。 4、（1）A??A????； 二、概率的定义与性质 （2）A??A????。 （2）(A??B)??A??A??B； （2）AB??BA,A??B??B??A； （一）概率的定义—设随机试验的样本空间为??，满足如下条件的随机事件的函数P(?)称为所对应事件的概率：
1
1、对事件A，有P(A)??0（非负性）。 2、P(?)??1（归一性）。
? 3、设A1,A2,L,An,L为不相容的随机事件，则有P(UAn)??n?1
（二）概率的基本性质 1、P(?)??0。
??P(A)（可列可加性）。nn?1
??
n
2、设A1,A2,L,An为互不相容的有限个随机事件列，则P(UAk)??
k?1
??P(A)。
kk?1
n
3、P(A)??1??P(A)。
4、（减法公式）P(A??B)??P(A)??P(AB)。 （三）概率基本公式 1、加法公式 （1）P(A??B)??P(A)??P(B)??P(AB)。 （2）P(A??B??C)??P(A)??P(B)??P(C)??P(AB)??P(AC)??P(BC)??P(ABC)。 2、条件概率公式：设A,B是两个事件，且P(A)??0，则P(B|A)??3、乘法公式 （1）设P(A)??0，则P(AB)??P(A)P(B|A)。 （2）P(A1A2LAn)??P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)LP(An|A1A2LAn?1)。 三、事件的独立性 1、两个事件的独立—设A,B是两个事件，若P(AB)??P(A)P(B)，称事件A,B相互独立。P(AB)。 P(A) ?P(AB)?P(A)P(B); ??(AC)?P(A)P(C);?P2、三个事件的独立—设A,B,C是三个事件，若 ???P(BC)?P(B)P(C); ??P(ABC)?P(A)P(B)P(C), 【注解】（1）A,B相互独立的充分必要条件是A,B 、A,B、A,B任何一对相互独立。 ，称事件A,B,C相互独立。
（2）设P(A)??0或P(A)??1，则A与任何事件B独立。
2
（3）设P(A)??0,P(B)??0，若A,B独立，则A,B不互斥；若A,B互斥，则A,B不独立。
?四、全概率公式与Bayes公式
1、完备事件组—设事件组A1,A2,L,An满足：（1）AiAj???(i,j??1,2,L,n,i??
n
j)；
（2）UAi????，则称事件组A1,A2,L,An为一个完备事件组。
i?1
2、全概率公式：设A1,A2,L,An是一个完备事件组，且P(Ai)??0(i??1,2,L,n)，B为事件，则
n
P(B)????P(Ai)P(B|Ai)。
i?1
3、贝叶斯公式：设A1,A2,L,An为一个完备事件组，且P(Ai)??0(i??1,2,L,n)，B为任一随机事件，
P(B)??0，则P(A|B)??i P(Ai)P(B|Ai)
。 P(B) 例题选讲 一、填空题 1、设P(A)??0.4,P(A??B)??0.7， （1）若A,B不相容，则P(B)? 2、设P(A)??P(B)??P(C)??。 ；（2）若A,B相互独立，则P(B)? 。11,P(AB)??P(AC)??P(BC)?? ，则事件A,B,C全不发生的概率为4 6 193、设两两相互独立的事件A,B,C满足：ABC???,P(A)??P(B)??P(C)??，且有P(A??B??C)???，
2 则P(A)? 。 4、设事件A,B满足P(AB)??P(AB)，且P(A)??p，则P(B)? 。 16
5、设A,B为两个相互独立的随机事件，且A,B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与A不发生B
19 发生的概率相等，则P(A)? 。 二、选择题： 1、设A,B是两个随机事件，且0??P(A)??1,P(B)??0,P(B|A)??P(B|A)，则[ (A)P(A|B)??P(A|B)； (B)P(A|B)??P(A|B)；]
3