内容发布更新时间 : 2024/12/23 0:18:44星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

导数及其应用

考纲导读 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念

2. 熟记八个基本导数公式(c,xm(m为有理数)，sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．知识网络 导数的概念导数导数的求法和、差、积、商、复合函数的导数函数的单调性导数的应用函数的极值函数的最值高考导航 导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数

第1课时 变化率与导数、导数的计算

基础过关 1．导数的概念：函数y＝f(x)的导数f?(x)，就是当Δx?0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比

?y的 ，即f?(x)＝ ＝ ．?x2．导函数：函数y＝f(x)在区间(a, b)内 的导数都存在，就说f(x)在区间( a, b )内 ，其导数也是(a )内的函数，叫做f(x)的 ，记作f?(x)或y?x，函数f(x)的导函数f?(x)在x?x0时的函数值 ，就是f(x)在x0处的导数

3．导数的几何意义：设函数y＝f(x)在点x0处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点M(x0,y0)处的 4．求导数的方法

(1) 八个基本求导公式

(C)?＝ ； (xn)?＝ ；(n∈Q) (sinx)?＝ ， (cosx)?＝ (ex)?＝ ， (ax)?＝

(lnx)?＝ ， (logax)?＝

(2) 导数的四则运算

(u?v)?＝ [Cf(x)]?＝

(uv)?＝ ，(uv

)?＝ (v?0)(3) 复合函数的导数

设u??(x)在点x处可导，y?f(u)在点u??(x)处可导，则复合函数f[?(x)]在点x处可导，f?(x)＝ ，即y?x?y?u?u?x典型例题 例1．求函数x2?1在x0到x0+Δx之间的平均变化率

解 ∵Δ(x0??x)2?1?x2?1?(x0??x)2?1?x200?1(x0??x)2?1?x20?1 ?2x0?x?(?x)2?y2x0??x(x0??x)2,??1?x20?1?x?.(x0??x)2?1?x20?1变式训练1. 求x在0处的导数.

解 lim?yx0??x?x0(x0??x?x0)(x0??x?x0?x?0?x??limx?0?x??lim)x?0?x(x0??x?x0)??lim1x?0x0??x?x?102x.0例2. 求下列各函数的导数： （1）y?x?x5?sinxx2; （2）y?(x?1)(x?2)(x?3); （3）y??sinx?x?112??1?2cos24??; （4）y?1?x?1?x.1 解 (1)∵y?x2?x5?sinx3x2?x?2?x3?sinxx2,35 ∴y′?(x?2)??(x3)??(x?2sinx)???3x?22?3x2?2x?3sinx?x?2cosx. （2）方法一 （x2+32）（3）3+6x2

+116，∴y′=3x2

+1211 方法二 y??(x?1)(x?2)??(x?3)?(x?1)(x?2)(x?3)?=（?x?1）?(x?2)?(x?1)(x?2)??（3）+（1）（2）

=（21）（3）+（1）（2）=（23）（3）+（1）（2）=3x2

+1211.

（3）∵?sinx?2??cosx??1?2??2sinx,且

?1?1?1∴y???sinx??(sinx)??cosx.2?2?2（4）y?11?x?11?x?1?x?1?x(1?x)(1?x)?2 ，1?x?2?2??2(1?x)??.∴y?????2(1?x)(1?x)2?1?x?变式训练2：求的导数

?1?sinx?(sinx)?cosx?sinx(cosx)?cos2x?sin2x 解 y′????.??222cosxcosxcosxcosx??例3. 已知曲线x3?.1343（1）求曲线在2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程

2

解 （1）∵y′,∴在点P（2，4）处的切线的斜率y?2=4.

∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为4=4(2),即44=0. （2）设曲线x3?则切线的斜率y?134134?与过点P（2，4）的切线相切于点A???，?x0,x0333??x?x0x02.

24134?2∴切线方程为y?????x0(x?x0),即y?x?x?x?. ?x023?33?030323?x0?,∵点P（2，4）在切线上，∴42x02343323222?3x0?4?0,?x0?x0?4x0?4?0,∴x0(x0?1)?4(x0?1)(x0?1)?0,即x0∴(x0+1)(x0-2)=0,解得x01或x0=2故所求的切线方程为44=0或2=0.

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变式训练3：若直线与曲线-3x+2x相切，则

2

答案 2或?14例4. 设函数f(x)?ax?1 (∈Z)，曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为3x?b（1）求f(x)的解析式；

（2）证明：曲线y?f(x)上任一点的切线与直线1和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值

（1）解 f?(x)?a?1，(x?b)21?9?a?,?2a?2?b?3,??a?1,?4于是?解得或???1?b??1,?a??b??8.?0,2??(2?b)3??