内容发布更新时间 : 2024/12/23 14:06:28星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

生活的色彩就是学习

第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[考纲传真] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．

(对应学生用书第110页)

[基础知识填充]

1．直线的倾斜角

(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0°，180°)． 2．直线的斜率

(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_θ，倾斜角是90°的直线斜率不存在．

(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝

y2－y1

. x2－x1

3．直线方程的五种形式

名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 方程 适用范围 不含直线x＝x0 不含垂直于x轴的直线 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b y－y1x－x1＝ y2－y1x2－x1xy＋＝1 abAx＋By＋C＝0， A＋B≠0 22一般式 [知识拓展] 平面内所有直线都适用 1．直线恒过定点问题

在直线方程中，若x或y的系数含有字母参数，则直线恒过定点 如直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，可将方程化为

?2x＋y－7＝0?

m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，令?

??x＋y－4＝0

，得?

?x＝3???y＝1

，即直线恒过定点(3,1)．

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2．直线“陡”、“缓”与斜率k的关系

在平面直角坐标系中，直线越“陡”，|k|越大． 3．直线在x，y轴上的截距问题

当直线在x，y轴上的截距相等或互为相反数时，应分两种情况讨论：一是直线过原点；二是直线不过原点(待定系数法)．

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )

(3)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( )

(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )

[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√

2．(教材改编)直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为( ) A．30° C．150°

B [直线的斜率为k＝tan α＝3， 又因为0°≤α＜180°，则α＝60°.]

3．(2018·泉州模拟)已知直线l过圆x＋(y－3)＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是( )

【导学号：00090264】

A．x＋y－2＝0 C．x＋y－3＝0

2

2

2

2

B．60° D．120°

B．x－y＋2＝0 D．x－y＋3＝0

D [圆x＋(y－3)＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.] 4．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.

1或－2 [令x＝0，则l在y轴上的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为21＋.

a2

依题意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2.]

a5．(2017·西安模拟)过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为________．

3

3x－2y＝0或x－y＋1＝0 [当直线过原点时，方程为y＝x，即3x－2y＝0.

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当直线l不过原点时，设直线方程为－＝1. 将P(2,3)代入方程，得a＝－1， 所以直线l的方程为x－y＋1＝0.

综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.]

(对应学生用书第111页)

xyaa 直线的倾斜角和斜率 (1)直线x－ycos θ＋1＝0(θ∈R)的倾斜角α的取值范围是________． (2)(2018·郑州模拟)若直线l过点P(－3,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________．

1?π?π3π?? (1)?，? (2)?－5，－? [(1)当θ＝kπ＋(k∈Z)时，cos θ＝0，直线为x＋1

4?3?2?4?π

＝0，其倾斜角为. 2

π

当θ≠kπ＋(k∈Z)时，直线l的斜率为

2 tan α＝

1

∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， cos θ

?ππ??π3π? 所以直线l的倾斜角的取值范围是?，?∪?，?.

4??42??2?π3π? 综上，α的取值范围是?，?.

4??4

－3－2

(2)因为P(－3,2)，A(－2，－3)，B(3,0)，则kPA＝

－2－－

＝－5，

kPB＝

0－23－－1＝－.

3

1?? 如图所示，当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率的取值范围为?－5，－?.] 3??

[规律方法] 1.(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R.

(2)正切函数在[0，π)上不单调，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．

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