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《数学分析》（中） 课程教学大纲

课程编号：122110 学分：7 总学时：119

一、课程性质与目的

以经典微积分为主体内容的《数学分析》是应用数学系本科生的一门重要基础课，它是几乎所有后继课程如微分方程，微分几何，复变函数，实变函数，泛函分析，概率论以及相关课程如普通物理，理论力学等不可缺少的基础。历来为各专业课程体系中的主干。学习这门课程的目的是既在基本知识和方法的掌握上又在数学思维能力的培养上为后继课程的学习打下坚实的基础。

本课程的主要目的就是通过教学与练习，使学生掌握广义黎曼积分、级数理论和多元函数的微分学的基本概念，基本理论和基本方法，并获得运用这些知识的能力。 二、课程基本要求

1． 掌握反常黎曼积分、数项级数、函数项级数、Fourier级数和二

元、三元函数的微分学的基本概念，基本理论和基本计算方法。 2． 理解函数项级数的一致收敛性及其判别、Fourier级数的收敛

性。

3． 了解向量值函数的微分学、多元函数的微分学的应用和Fourier

积分。 三、课程基本内容

1. 反常黎曼积分：两类广义积分的收敛与发散，积分第二中值定理，比较判别法，柯西判别法，A-D判别法，积分主值。

2. 数项级数：数项级数收敛与发散，级数收敛的必要条件，收敛级数的线性运算与结合律，柯西收敛原理。单调有界原理，正项级数审敛法：比较判别法，柯西根值法，达郎贝尔比值法，积分判别法。任意项级数审敛法：莱布尼兹判别法，A-D判别法。绝对收敛级数与条件收敛级数，更序级数，黎曼定理，级数的乘法，柯西乘积。 3. 函数项级数：函数项级数的一致收敛，一致收敛的柯西收敛原理，M-判别法，狄里克莱判别法，狄尼定理，一致收敛级数的和函数的连续性，可微性与可积性，逐项求导与逐项求积。幂级数的收敛半径，柯西-阿达玛定理，阿贝尔第一、第二定理，幂级数的和函数的

性质，函数的幂级数展开。

4. Fourier级数与Fourier变换：正交函数系，三角函数系的正交性，Fourier系数，Fourier级数。Dirichlet积分，Riemann引理，函数的Fourier级数展开，Fourier级数的逐项求导与逐项求积

5. 多元函数极限论：欧氏空间中的拓扑性质：范数，邻域，开集，闭集，有界集，紧集，连通集，区域，聚点，点列的极限，柯西收敛原理，闭区域套定理，致密性定理，有限覆盖定理，多元函数的极限与累次极限，函数的连续性，有界闭区域上连续函数的性质。 6. 多元微分学：偏导数及其几何意义，线性函数与全微分，连续可微、可偏导之间的关系，链式法则，高阶偏导的次序交换定理，隐函数的偏导计算，高阶全微分，一阶微分形式的不变性。方向导数与梯度的定义与计算，梯度。Taylor公式。

7. 向量值函数：向量值函数的极限与连续，向量值函数的偏导数和方向导数，线性映射与全微分，坐标函数，链式法则，Jacobi阵。 8. 隐函数：压缩映射原理，正则映射，反函数定理，隐函数定理，函数行列式的性质，函数相关。

9. 多元微分学的应用：曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，极值与条件极值，Lagrange乘数法。 四、实验或上机内容 无

五、前修课程要求

《数学分析》上， 线性代数， 解析几何 六、学时分配 序号 1 2 3 4 5 5 内 容 反常积分 正项级数 任意项级数 函数项级数与幂级数 Fourier级数与Fourier变换 多元函数极限和连续 学 时 安 排 理论 课时 6 8 8 14 8 10 上机 课时 实验 课时 习题 课时 3 4 4 8 4 4 小计 9 12 12 22 12 14 6 7 多元微分学及其在几何上的应用 隐函数存在定理和极值 17 8 79 9 4 40 26 12 总 计

七、教材与主要参考书

119 教材： 《数学分析》上、下册 华东师大 高等教育出版社 《数学分析》上、下册 陈纪修等，高等教育出版社 主要参考书：

1. 《微积分学教程》 菲赫金哥尔茨 人民教育出版社 2. 《数学分析解题指南》 林源渠 方企勤 北京大学出版社 3. 《数学分析学习指导书》 吴良森等 高等教育出版社 4. 《微积分学教程》 菲赫金哥尔茨 人民教育出版社 5. 《数学分析》 李成章 黄玉民 科学出版社 6. 《数学分析习题集》 吉米多维奇 人民教育出版社 7. 《数学分析中的典型问题与方法》 裴礼文，高等教育出版社 8. 《数学分析习题全解指南》 陈纪修等，高等教育出版社 9. 《微积分学和数学分析引论》柯朗 10. 《数学分析原理》上、下册 卢丁 11. 《数学分析》上、下册 江泽坚等编著 12. 《数学分析》 克莱姆鲍尔著