内容发布更新时间 : 2024/5/8 21:17:55星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

导数与函数的极值

1、结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 2、理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值

一、导数与函数的极值：

1．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数

h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象，回答以下问题

（1）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h?t?在t=a处的导数是多少呢？

（2）在点t=a附近的图象有什么特点？

（3）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？

共同归纳: 函数h(t)在a点处h/

(a)=0,在t=a的附近,当t＜ah时,函数h?t?单调递增, h'?t?＞0;当t＞a时,函数h?t?单调递减o,

ah'?t?＜0,即当t在a的附近从小到大经过a时, h'?t?先正后负,且

h'?t?连续变化,于是h/(a)=0.

t3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ <二>、探索研讨

1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：

（1）函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? （2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少?

（3）在a.b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢? 2、极值的定义:

我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值； 点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。 极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值.

类型一：函数的单调性与导数：

1

例1、求函数f?x??13x?4x?4的极值 3

练习：

1．求下列函数的极值.

23

(1)y=x－7x+6 (2)y=x－27x 类型二 求含字母参数的函数的极值

例2.（06安徽卷）设函数f?x??x?bx?cx(x?R)，已知g(x)?f(x)?f?(x)是奇函数。

32（Ⅰ）求b、c的值。

（Ⅱ）求g(x)的单调区间与极值。

举一反三：(2005年全国高考题)设a为实数,函数(Ⅰ)求f(x)的极值.

(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线y?f(x)与x轴仅有一个交点.

考点二 求函数的最值

例3.已知a为实数，f(x)?(x?4)(x?a)

2

2f(x)?x3?x2?x?a.

（1）若f?(?1)?0，求f(x)在[－2，2] 上的最大值和最小值；

（2）若f(x)在（—∞，—2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围.

举一反三：1.（06浙江卷）f(x)?x?3x?2在区间??1,1?上的最大值是

32A．-2

B．0 C．2 D．4

2. (06全国卷Ⅱ)已知a≥ 0 ，函数f(x)=（x-2ax）e

(1) 当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；（2）设f(x)在[-1，1]上是单调函数，求a的

取值范围.

考点三 利用导数解决函数的综合问题

例4.(06年深圳市模拟)已知函数f(x)?x?b的图象与函数g(x)?x?3x?2的图象相切,记

22xF(x)?f(x)g(x).

（Ⅰ）求实数b的值及函数F(x)的极值；

（Ⅱ）若关于x的方程F(x)?k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围.

3