内容发布更新时间 : 2025/1/24 7:14:51星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
课时达标训练(二十五) 计数原理与二项式定理
A组——大题保分练
1．(2019·南京盐城一模)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且对任意n∈N，都有a1Cn＋
2nn－1
a2C1成立． n＋a3Cn＋…＋an＋1Cn＝(an＋2－1)·2
*
0
(1)求a3的值；
(2)证明：数列{an}是等差数列．
解：(1)在a1Cn＋a2Cn＋a3Cn＋…＋an＋1Cn＝(an＋2－1)·2－1，由a1＝1，a2＝3，解得a3＝5.
(2)证明：若a1，a2，a3，…，an是等差数列，则an＝2n－1. ①当n＝3时，由(1)知a3＝5，此时结论成立．
②假设当n＝k(k≥3，k∈N)时，结论成立，则ak＝2k－1. 由a1Ck－1＋a2Ck－1＋a3Ck－1＋…＋akCk－1＝(ak＋1－1)2对该式倒序相加，得(a1＋ak)2
k－1
0
1
2
*
0
1
2
nn－1
中，令n＝1，则a1C1＋a2C1＝a3
01
k－1k－2
，k≥3， ，
＝2(ak＋1－1)·2
k－2
所以ak＋1－ak＝a1＋1＝2，即ak＋1＝2k－1＋2＝2(k＋1)－1， 所以当n＝k＋1时，结论成立． 根据①②，可知数列{an}是等差数列．
2．(2019·南师附中等四校联考)设集合M＝{1，2，3，…，m}，集合A，B是M的两个不同子集，记|A∩B|表示集合A∩B的元素个数．若|A∩B|＝n，其中1≤n≤m－1，则称(A，
B)是M的一组n阶关联子集对((A，B)与(B，A)看作同一组关联子集对)，并记集合M的所有n阶关联子集对的组数为an.
(1)当m＝3时，求a1，a2；
(2)当m＝2 019时，求{an}的通项公式，并求数列{an}的最大项． 解：(1)当m＝3时，易知a1＝3×4＝12，a2＝3.
1n02 019－n12 018－nk2 019－k－n(2)an＝C2 019××[C2 019－n(2－1)＋C2 019－n·2＋…＋C2 019－n·2＋…＋
2C
2 018－n2 019－n·2＋C
1
2 019－n2 019－n·2]＝C2 019
－1
0n3
2 019－n2
，
an＋1
＝anC2 019
n＋1
3
2 018－n（2 019－n）（3－1）＝＞1， 2 019－n2 019－n3－1（n＋1）（3－1）nC2 0192
2 018－n2
2 018－n化简，得(1 008－2n)·3＞1 009－n，(*)
当n≤503时，(*)式成立；
当504≤n≤1 008时，(*)式不成立； 当n≥1 009时，不成立；
所以a1＜a2＜a3＜…＜a503＜a504，
a504＞a505＞a506＞…＞a2 018，
所以a1＜a2＜a3＜…＜a503＜a504＞a505＞…＞a2 018， 所以数列{an}的最大项为a504＝C
5042 019
3
1 515
－1. 2
01
12
3．(2018·南京、盐城一模)已知n∈N，nf(n)＝CnCn＋2CnCn＋…＋rCnCn＋…＋nCnCn. (1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；
(2)试猜想f(n)的表达式(用一个组合数表示)，并证明你的猜想． 解：(1)由条件，nf(n)＝CnCn＋2CnCn＋…＋rCnCn＋…＋nCnCn，① 在①中令n＝1，得f(1)＝C1C1＝1.
在①中令n＝2，得2f(2)＝C2C2＋2C2C2＝6，得f(2)＝3.
在①中令n＝3，得3f(3)＝C3C3＋2C3C3＋3C3C3＝30，得f(3)＝10. (2)猜想f(n)＝C2n－1(或f(n)＝C2n－1)．
欲证猜想成立，只要证等式nC2n－1＝CnCn＋2CnCn＋…＋rCnCn＋…＋nCnCn成立． 法一：(直接法)当n＝1时，等式显然成立． 当n≥2时，因为rCn＝＝n×
rn01
12
01
12
23
01
12
0101
12
*r－1rn－1nr－1rn－1nnn－1
r－1rn－1nr×n！n！
＝
r！（n－r）！（r－1）！（n－r）！
（n－1）！r－1
＝nCn－1，
（r－1）！（n－r）！
rr－1
r－1r－1
故rCnCn＝(rCn)Cn＝nCn－1Cn.
故只需证明nC2n－1＝nCn－1Cn＋nCn－1Cn＋…＋nCn－1·Cn＋…＋nCn－1Cn. 即证C2n－1＝Cn－1Cn＋ Cn－1Cn＋…＋ Cn－1Cn＋…＋ Cn－1Cn. 而Cn＝Cnr－1
n－r＋1n0
0
1
1
r－1rn0011r－1r－1n－1n－1
r－1r－1n－1n－1
，故即证C2n－1＝Cn－1Cn＋ Cn－1Cn＋…＋ Cn－1Cn＝(1＋x)
nn－1
nnn0n1n－1r－1n－r＋1
＋…＋ Cn－1Cn.②
n－11
由等式(1＋x)
2n－1
(1＋x)可得，左边x的系数为C2n－1.
0
1
2
2
n而右边(1＋x)
n－1
(1＋x)＝(Cn－1＋Cn－1x＋Cn－1x＋…＋Cn－1xn－1n－1
)(Cn＋Cnx＋Cnx＋…＋Cn0122nxn)，
所以x的系数为Cn－1Cn＋ Cn－1Cn＋…＋ Cn－1·Cn由(1＋x)
2n－1
n0n1n－1r－1n－r＋1
＋…＋ Cn－1Cn.
n－11
＝(1＋x)
nn－1
(1＋x)恒成立可得②成立．
n综上，f(n)＝C2n－1成立．
法二：(构造模型)构造一个组合模型，一个袋中装有(2n－1)个小球，其中n个是编号为1，2，…，n的白球，其余(n－1)个是编号为1，2，…，n－1的黑球．现从袋中任意摸出n个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r个黑球((n－r)个白球)的n个小球的组合的个数为Cn－1·Cn，0≤r≤n－1，由分类计数原理有从袋中任意摸出n个小球的组合的总数为Cn－1Cn＋ Cn－1Cn＋…＋ Cn－1Cn0
rn－rn1n－1r－1n－r＋1
＋…＋ Cn－1Cn.
nn－11
另一方面，从袋中(2n－1)个小球中任意摸出n个小球的组合的个数为C2n－1.
故C2n－1＝Cn－1Cn＋ Cn－1Cn＋…＋ Cn－1Cn法三：(利用导数)由二项式定理，
n0n1n－1r－1n－r＋1
＋…＋ Cn－1Cn，余下同法一．
n－11
得(1＋x)＝Cn＋Cnx＋Cnx＋…＋Cnx.③ 两边求导，得n(1＋x)③×④，得n(1＋x)
n－1
n0122nn＝Cn＋2Cnx＋…＋rCnx0
1
22
12rr－1
＋…＋nCnx1
nn－1
.④
rr－1
2n－1
＝(Cn＋Cnx＋Cnx＋…＋Cnx)·(Cn＋2Cnx＋…＋rCnxnn2
＋…＋nCnnxn－1)．⑤
左边x的系数为nC2n－1.
右边x的系数为CnCn＋2CnCn＋…＋rCnCnnn－1
01
12
nnn1n2n－1rn－r＋1
＋…＋nCnCn＝CnCn＋2CnCn＋…＋r CnCnn11021rr－1
＋…＋nCnCn＝CnCn＋2CnCn＋…＋r CnCn＋…＋nCnCn.
由⑤恒成立，得nC2n－1＝CnCn＋2CnCn＋…＋r CnCn＋…＋nCnCn. 故f(n)＝C2n－1成立．
法四：(构造模型)由nf(n)＝CnCn＋2CnCn＋…＋rCnCn＋…＋nCnCn，
得nf(n)＝nCnCn＋(n－1)CnCn＋…＋CnCn＝nCnCn＋(n－1)CnCn＋…＋CnCn， 所以2nf(n)＝(n＋1)(CnCn＋CnCn＋…＋CnCn) ＝(n＋1)(CnCn＋CnCn＋…＋CnCn)， 构造一个组合模型，从2n个元素中选取(n＋1)个元素，则有C2n种选法，现将2n个元素分成两个部分n，n，若(n＋1)个元素中，从第一部分中取n个，第二部分中取1个，则有CnCn种选法，若从第一部分中取(n－1)个，第二部分中取2个，则有CnCn种选法，…，由分类计数原理可知C2n＝CnCn＋CnCn＋…＋CnCn.
故2nf(n)＝(n＋1)C2n， 所以f(n)＝n＋1n＋1
n1
n－12
1n01
1201
12
r－1rn－1nn0112r－1rn－1nnr－1rn－1nn－1nn－2n－1010112n－1nn－1nn1n－121nn＋1
n1n－12
n＋1（2n）！（2n－1）！n·＝＝C2n－1. 2n（n＋1）！（n－1）！n！（n－1）！
2n＋1
4．(2018·苏锡常镇调研(二))已知函数f(x)＝(x＋5)(n∈N，x∈R)．
*
(1)当n＝2时，若f(2)＋f(－2)＝5A，求实数A的值； (2)若f(2)＝m＋α(m∈N，0<α<1)，求证：α(m＋α)＝1. 解：(1)当n＝2时，f(x)＝(x＋5)＝C5x＋C5x＋C5(5)
所以f(2)＋f(－2)＝(2＋5)＋(－2＋5)＝2[C5(5)2＋C5(5)2＋C5(5)]＝2(5×165＋10×4×55＋255)＝6105，
所以A＝610.
(2)证明：因为f(x)＝(x＋5)(5)
2n＋1
2n＋15
5
1
14
3
32
5
5
5
5,
5
05
14
*
5＋C5x(5)＋C5x(5)＋C5x(5)
23232344
＝C2n＋1x02n＋1
＋C2n＋1x12n5＋C2n＋1x22n－1
(5)＋…＋C2n＋1
22n＋1
，
0
2n＋1
所以f(2)＝C2n＋12＋C2n＋12
12n5＋C2n＋12
22n－1
(5)＋…＋C2n＋1(5)
*
22n＋12n＋1
，
由题意知，f(2)＝(5＋2)
2n＋1
＝m＋α(m∈N，0<α<1)，