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∧，∨，?，[0]，[1]）到（f(L)，∧2，∨2，ˉ，?，β）的同构映射，又由f是布尔代数（L，∧1，∨1，’，0，1）到（S，∧2，∨2，ˉ，?，β）的满同态映射，知，f(L)=S。因此，h是布尔代数（L/f，∧，∨，?，[0]，[1]）到（S，∧2，∨2，ˉ，?，β）的同构映射。对于任意a∈L，有

（h?g）（a）=h(g(a))=h([a])=f(a)， 因此，f=h?g。

往证唯一性。假设h’也是L/f到S的同构映射，且使得f=h’?g。那么，对于任意的[a]∈L/f，有

h’([a])=h’(g(a))=(h’?g)(a)=f(a)=h([a])，

可见，h’=h。因此，使得f=h?g的L/f到S的同构映射h是唯一的。

此例中还用到了映射乘积的概念。

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§8.3 第八章习题解答

8.3.1 习题8.2解答

1. 设S是所有命题做成的集合，说明S在什么运算下做成代数格？在什么部分序下做成半序格。

解：S在合取运算(?)和析取运算(?)下做成代数格。不难验证这两种运算有交换律、结合律、吸收律。

S在蕴涵(?)这个部分序下做成半序格。A?B?A?B=A且A?B=B.

2. 设(L，?，⊕)是一个格，a,b?L。令S={x|(x?L)?(a?x?b)}其中?是与(L,?, ⊕)等价的半序格中的部分序。

证明：(S, ?，⊕)是L的子格。

设c，d?S,则c,d?L，且a?c,d?b所以 a?c*d 而显然有c*d?b c⊕d?b a?c⊕d 故S对*，⊕运算封闭

即(S，*，⊕)是L的子格。

3. 设D是集合S上的整除关系。以下部分序集是否为格：

(1) S = {1，2，3，4，6，12}

(2) S = {1，2，3，4，6，8，10，12}

(3) S = {1，2，3，4，5，6，7，8，9，10} (4) S = {2，3，6，12，24，36} 解：（1）和（4）是格。

8.3.2 习题8.3解答

1. 设(L，?)是格，若a,b,c?L,a?b?c，则a⊕b=b*c(a*b)⊕(b*c)=(a⊕b)*(a⊕c) 证明：因a?b?c故a⊕b=b=b*c a*b=a,b*c=b,a⊕b=b,a⊕c=c 故(a*b)⊕(b*c)=(a⊕b)=b (a⊕b)*(a⊕c)=b*c=b 即(a*b)⊕(b⊕*c)=(a⊕b)*(a⊕c).

2. 设(L,?)是格，若a ?b,c?d,a,b,c,d?L,则a?c?b*d a⊕c?b⊕d 证明：(a*c)*(b*d)=a*c*b*d=(a*b)*(c*d)=(a*c)

故a*c?b*d,

(a⊕c)⊕(b⊕d)=a⊕c⊕b⊕d=(a⊕b)⊕(c⊕d)=b⊕d, 故a⊕c?b⊕d.

3. 设(L，?)是一个格。证明：(a*b) ⊕(c*d)?(a⊕c)*(b⊕d);(a*b) ⊕(b+c)⊕(c*a)?(a⊕b)*(b⊕c)*(c⊕a)

证明：(a*b) ⊕(c*d)?[(a*b) ⊕(c)]*[(a*b) ⊕d]]

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?(a⊕c)*(b⊕c) ⊕(a⊕d)*(b⊕d) ?[(a⊕c)*(a⊕d)]*[(b⊕d)*(b⊕c)] ?(a⊕c)*(b⊕d)

(a*b) ⊕(b*c)⊕(c*a)?[((a*b) ⊕((a*b)⊕c))⊕(c*a) =[b*((a*b) ⊕c)]⊕(c*a)

?[(b*((a*b) ⊕c))⊕c]*[(b*(a*b)⊕c)⊕a]

?[(b⊕c)*((a*b)⊕c)⊕c])]*(b⊕a)*[((a*b)⊕c)⊕a] =[(b⊕c)*(a⊕((a*b⊕c)))*(a⊕b)*[(a*b)⊕c] ?(b⊕c)*(a⊕b)*(a⊕c)*(b⊕c) =(a⊕b)*(b⊕c)*(c⊕a)

4. 若(L，?)是有限格，则L中必有最大最小元素。 证明：L有限，可设L={a1,a2,…,an}与其等价的代数格记为(L，*，⊕),则a=a1*a2*…*anL b=a1⊕a2⊕?⊕anL

不难看出，对任ai?L，有a?ai?b，即L中最大最小元素分别为a,b。

5. 举例说明，对于两个格L和S，g是L到S的保序映射，但g不是同态映射。

解：设S={a,b,c,d,e}，其半序如图8.3.1所示，易见S是格，令S?={P(S)，?},则S?也是格，令g:x?g(x)={y|y?S,y?x},g(a)=S,g(b)={b,e},g(c)={c,e},g(d)={d,e},g(e)=e.

当x?y时，显然有g(x)?g(y),即g是格S到S?的保序映射。

但在S中，b⊕c=a,而g(b)⊕?g(c)={b,c,e} g(b⊕c)=g(a)=S.可见g(b⊕c)?g(b)⊕?g(c)，即g不是同态映射。

a

d b c

e

图8.3.1

6. 令S={所有正偶数集合}。证明：(I+，D)与(S，D)同构。 证明：对任意n?I+，规定I+到S的映射：g:n?2n

显然此映射是一对一的。与这两个格等价的代数格的*，⊕运算都是求最大公因和最小公倍。

对任n1,n2?I+,n1*n2为其最大公因，记为d.而2n1,2n2?S,2n1*2n2为2n1和2n2的最大公因。为2d 。故g(n1*n2)=g(d)=2d=2n1*2n2=g(n1)*g(n2).

同理可证g(n1⊕n2)=g(n1)⊕g(n2)

即g是同态映射，故(I+，D)和(S，D)同构。

7. 证明：4个元素的格(L，*，⊕)必同构于格(I4，?)或者格(S6，D)。

证明：设4个元素的格L={a1,a2,a3,a4}，L有限，故必有最大，最小元素，不妨设为a4,a1,则a1?a2,a3?a4。其中，a2,a3有两种可能：

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(1)a2?a3(a2,a3有关系?，不妨设为如此)则成为链，因此与(I4，?)同构。 (2)a2,a3没有?关系，则此格与(S6，D)同构.

8. 证明：格(E，?)和格(O，?)同枸。其中，E是正偶数集。O是正奇数集。?是数的小于等于关系，给出的同构映射是否格(E，D)和格(O，D)之间的同构映射？其中D是整除关系。

证明：规定(E，?)到(O，?)上的映射g:m?m-1，m?E。这显然是一对一的。与这两格等价的代数格的*，?运算即求两个数中最大，最小者的运算。对任m1,m2?E，不妨设m1?m2有 g(m1*m2)=g(m1)m1-1=g(m1-1)*(m2-1)=g(m1)*g(m2) g(m1?m2)=g(m2)=m2-1=(m1-1) ?(m2-1)=g(m1) ?g(m2)

因此格(E，?)和格(O，?)同构。

此映射不是关于(E，D)和(O，D)的同构映射。

例：在该映射中6?5，3?4，而与(E，D)和(O，D)等价的代数格中的乘加运算分别是求最大公因和最小公倍的运算。若记两格中的乘运算分别为*1和*2。

则有g(6*13)=g(3)=2， 而g(6)*2g(3)=5*22=1，

因此，g不是关于(E，D)和(O，D)的同构映射。

9. 设(L，*，?)，(S，?，?)是两个格，证明：若g是L到S上的一一映射，则g是同构映射的充要条件是g与g-1是保序映射。

证明：?)若g是L到S上的同构映射，则显然g-1存在并且是S到L上的同构映射，而同构映射当然是同态故保序。

?)设a,b?L,a’,b’?S且有g(a)=a’，g(b)=b’,a*b=c,a’?b’=c’，则c?a,c?b。由g是保序的，所以g(c )?’a’,g( c)?’b’，因此g(c)?’(a’?b’)，即g(c)?’c’。由a’?b’=c’，我们又得到c’?’a’ c’?’b’。由g-1是保序的，得g-1( c’)?a,g-1(c’)?b。于是gg-1( c’)?’g(c)，所以c’=g (c)，即c’?g (c)。所以c’=g(c)，即g(a*b)=g(c)=c’=a’?b’=g(a) ? g(b)。

同理可得，g(a?b)=g(a)?g(b). 故g是同构映射。

10. 设(L，*，?)是有限格，g是L到L的映射。如果对a,b?L，有g(a*b)=g(a)*g(b)，则必有e?L,使得g(e)=e。

证明： 由g(a*b)=g(a)*g(b)，不难推得对任m有g(a1*a2*?*am)=g(a1)*g(a2)*?*g(am)。取L中任一元，记为a1,g(a1)=a2,若a2=a1,则取e=a1，得证.否则,令a3=g(a2)，如此下去，必有两种可能:

(Ⅰ)对某个j出现g(aj)=aj(1?j?n),则e=a，j得证。 (Ⅱ)g(aj)=ai其中1?i?j.因此,令e=ai*ai+1*?*aj g(e)=g(ai*ai+1*?*aj)

=g(ai)*g(ai+1)*?*g(aj) =ai+1*ai+2*?*aj*ai =e

原命题成立。

11. 证明：§8.3中定理8.3.7的推论。

证明：由定理8.3.7，g-1是S到L上的同构映射当然也是同态映射。

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因此g和g-1都是保序的。

8.3.3 习题8.4解答

1．证明：在有余分配格（L，×，?）中，对任意a，b∈L，有

a≤b?a×b′= 0

b′≤a′?a′?b= 1 a≤b?b′≤a′

证明： ①a?b?a?b’=0

?)∵a≤b， ∴a?b=a，

∴a?b’=(a?b)?b’=a?(b?b’)=a?0=a

?)a?b=(a?b)?0=(a?b)?(a?b’)=a?(b+b’)=a?1=a 故a?b

②?)∵b’?a’， ∴b’?a’=a’，

∴a’?b=(b’?a’)?b=a’?(b’?b)=a?1=1 ?)a’?b’=(a’?b’)?1=(a’?b’)?(a’?b’)

=a’?(b’?b)=a’?0=a’ ∴b’?a’。

③a?b?b’?a’

a?b?a?b=a?a’?b’=a’?b’?a’

2. 证明：在格(L，?，?)中，若第一分配律成立，不用对偶原理可推出第二分配律，反之亦然。

证明：由第一分配律证第二分配律。亦即 已知a?(b?c)=(a?b)?(a?c)成立， 往证a?(b?c)=(a?b)?(a?c)。

(a?b)?(a?c)=((a?b)?a)?((a?b)?c) =a?((a?c)?(b?c))=(a?(a?c)) ? (b?c) =a?(b?c)

同理可由第二分配律证第一分配律。

3. 证明：§ 8.4中的引理1，引理2

引理1 设(L，?)是一个格，若S是L的任意一个有限非空子集，则S有一个最大下界和一个最小上界。

证明：设S={S1，S2，…，Sn}

令m=S1?S2?…?Sn，M=S1?S2?…?Sn。

其中?，?是与格(L，?)中“?”关系等价的最大下界和最小上界运算。 由?，?的封闭性，显然m,M?L. 任取Sk?S,则

∵Sk?m==Sk?S1???Sk???Sn=S1???Sn=m ∴m?Sk

∴m是S的一个下界。 取m’为S的任意下界，

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