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第四章 圆与方程

§4.1 圆的方程

4.1.1 圆的标准方程

一、基础过关

1．(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为 A．(－1,2),2 C．(－1,2),4 A．在圆内 C．在圆上

( )

B．(1,－2),2 D．(1,－2),4

( )

B．在圆外 D．不确定

( )

B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1

2．点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是

3．圆的一条直径的两个端点是(2,0),(2,－2),则此圆的方程是 A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1

3

4．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝x的距离为

3

13A. B. C．1 D.3 22

( )

5．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25,点(2,3)到圆上的最大距离为________．

6．圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋2y－3＝0对称的圆的方程是________________． 7．求满足下列条件的圆的方程： (1)经过点P(5,1),圆心为点C(8,－3)； (2)经过点P(4,2),Q(－6,－2),且圆心在y轴上．

8．求经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程． 二、能力提升

9．方程y＝9－x2表示的曲线是 A．一条射线 C．两条射线 A．第一象限 C．第三象限 ________．

12．平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(－1,2)四点,这四点能否在同一个圆上？为什

么？ 三、探究与拓展

( )

B．一个圆

D．半个圆 B．第二象限 D．第四象限

10．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限,则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )

11．如果直线l将圆(x－1)2＋(y－2)2＝5平分且不通过第四象限,那么l的斜率的取值范围是

13．已知点A(－2,－2),B(－2,6),C(4,－2),点P在圆x2＋y2＝4上运动,求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的

最值．

答案

1．A 2.B 3.B 4．A 5．5＋2

193

x－?2＋?y－?2＝1 6.??5??5?

7．解 (1)圆的半径r＝|CP|＝?5－8?2＋?1＋3?2＝5,

圆心为点C(8,－3),

∴圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25. (2)设所求圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2. ∵点P、Q在所求圆上,依题意有

2145r＝，22

?4?16＋?2－b?＝r，??22

5?36＋?2＋b?＝r，?

b＝－.2

???

∴所求圆的方程是

5145y＋?2＝. x2＋??2?4

8．解 由题意知线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0, ??3x＋2y－15＝0，∴由?,

?3x＋10y＋9＝0?

?x＝7，?解得?

??y＝－3.

∴圆心C(7,－3),半径r＝|AC|＝65. ∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65. 9．D 10.D 11．[0,2]

12．解 能．设过A(0,1),B(2,1),C(3,4)的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

将A,B,C三点的坐标分别代入有 a＋?1－b?＝r，??

??2－a?2＋?1－b?2＝r2，???3－a?2＋?4－b?2＝r2，

2

2

2

?a＝1，

?

解得?b＝3，

??r＝5.

∴圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5. 将D(－1,2)代入上式圆的方程,得 (－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5,

即D点坐标适合此圆的方程． 故A,B,C,D四点在同一圆上． 13．解 设P(x,y),则x2＋y2＝4.

|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y. ∵－2≤y≤2,

∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.

即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88,最小值为72.