内容发布更新时间 : 2024/6/26 13:52:46星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
开锁次数的数学期望和方差
例 有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数?的数学期望和方差．
分析：求P(??k)时，由题知前k?1次没打开，恰第k次打开．不过，一般我们应从简单的地方入手，如??1,2,3，发现规律后，推广到一般．
解：?的可能取值为1，2，3，…，n．
P(??1)?1,n11n?111P(??2)?(1?)????;
nn?1nn?1n111n?1n?211P(??3)?(1?)?(1?)?????;?nn?1n?2nn?1n?2n11111n?1n?2n?3n?k?111P(??k)?(1?)?(1?)?(1?)?(1?)???????nn?1n?2n?k?2n?k?1nn?1n?2n?k?2n?k?1n；所以?的分布列为：
? 1 2 … k … n 1111 … … P nnnn1111n?1； E??1??2??3????n??nnnn2D??(1? ?n?121n?121n?121n?121n?121)??(2?)??(3?)????(k?)????(n?)?2n2n2n2n2n1?2n?12?222(1?2?3???n)?(n?1)(1?2?3???n)?()?n? ?n?2?1?1n(n?1)2n(n?1)2?n2?1? ??n(n?1)(2n?1)? ??n?62412? 说明：复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在，进而推广到一般，
方差的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项，转化成熟悉的公式，是解决的关键．
次品个数的期望
例 某批数量较大的商品的次品率是5％，从中任意地连续取出10件，?为所含次品的个数，求E?．
分析：数量较大，意味着每次抽取时出现次品的概率都是0.05，0，1，2，…，?可能取值是：10．10次抽取看成10次独立重复试验，所以抽到次品数?服从二项分布，由公式E??np可得解．
解：由题，?~B?10,0.05?，所以E??10?0.05?0.5．
说明：随机变量?的概率分布，是求其数学期望的关键．因此，入手时，决定?取哪些值
kk10?k及其相应的概率，是重要的突破点．此题P(??k)?C10(0.05)?(1?0.05)，应觉察到这
是?~B?10,0.05?．
根据分布列求期望和方差
例 设??是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q 值，并求E ??、D ??．
?? P －1 0 1 1 21?2q q 2 分析：根据分布列的两个性质，先确定q的值，当分布列确定时，E ??、D ??只须按定义代公式即可．
解： 离散型随机变量的分布满足
, （1）P i ?0,i ?1,2,3,???1. （2）P 1?P 2?P 3????12?1?2q ?q ?1,?2?1. 所以有?0?1?2q ?1,解得 q ?1?2?q 2?1.??故??的分布列为
?? －1 0 1
P 1 22?1 3?2 21?3??E ???(?1)??0?(2?1)?1???2?
2?2?13 ????2?1?2.
221?3? D ???[?1?(1?2)]2??(1?2)2?(2?1)?[1?(1?2)]2???2?
2?2?1?3? ?(2?2)2??(2?1)3?2??2?
2?2? ?3?22?22?6?32?1?3?22?2?1.
小结：解题时不能忽视条件P(??ki)?pi时，0?pi?1，i?1,2,???否则取了q?1 的值后，辛辛苦苦计算得到的是两个毫无用处的计算．
产品中次品数分布列与期望值
例 一批产品共100件，其中有10件是次品，为了检验其质量，从中以随机的方式选取5件，求在抽取的这5件产品中次品数分布列与期望值，并说明5件中有3件以上（包括3件）为次品的概率．（精确到0．001）
分析：根据题意确定随机变量及其取值，对于次品在3件以上的概率是3，4，5三种情况的和．
解：抽取的次品数是一个随机变量，设为??，显然??可以取从0到5的6个整数． 抽样中，如果恰巧有k 个（k ?0,1,2,3,4,5）次品，则其概率为
k5?kC10?C90P(??k)?C5100
按照这个公式计算，并要求精确到0．001，则有
P (???0)?0.583, P (???1)?0.340, P (???2)?0.070,
P (???3)?0.07, P (???4)?0, P (???5)?0.故??的分布列为
?? P 0 0.583 1 0.340 2 0.070 3 0.007 4 0 5 0 E ???0?0.583?1?0.340?2?0.070?3?0.007?4?0?5?0?0.501.