内容发布更新时间 : 2025/1/6 17:03:30星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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《概率论与数理统计》习题及答案

第 四 章

1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以X,Y分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(X,Y)的分布列.资料个人收集整理，勿做商业用途 解(X,Y)的分布列为

X Y 102311612111 26661130126其中P(X?1,Y?1)?P(X?1)P(Y?1|X?1)?0

1余者类推。

2．将一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(X,Y)的分布列及边缘分布列。资料个人收集整理，勿做商业用途 解一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故

X~B(3,分布为

11).P(X?k)?C3k()3,k?0,1,2,3，于是(X,Y)的分布列和边缘22X 0Y 123p?j336100888112 3008881331pi?8888其中P(X?0,Y?1)?P(X?0)P(Y?1|X?0)?0，

3113P(X?1,Y?1)?P(X?1)P(Y?1|X?1)?C3()?1?，

2834 / 11

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余者类推。

3．设(X,Y)的概率密度为

又（1）D?{(x,y)|x?1,y?3}；（2）D?{(x,y)|x?y?3}。求P{(X,Y)?D} 解（1）P{(x,y)?D}?1?x 19?4?3??6???； ?8?4 22?8（2）P{(X,Y)?D}?2 101?0?28(6?x?y)dxdxy

13??3?x21(6?x?y)dxdy 8y 4．设(X,Y)的概率密度为

2 ?5. 24求（1）系数C；（2）(X,Y)落在圆x?y?r(r?R)内的概率. 解（1）1?Cx+y=3 222x2?y2?R2??(R?x?y)dxdy?C?R?C?2232?0?R0r2drd?

?32?R3??R3， ?C??R??C?3?3?3?C?.

?R3（2）设D?{(x,y)|x?y?r}，所求概率为

2223??R3?2?r3?3r22??Rr?3??R2???2r?1??. ??3R? 5．已知随机变量X和Y的联合概率密度为 求X和Y的联合分布函数.

解1设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则

解2由联合密度可见，X,Y独立，边缘密度分别为 边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，则 设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则

6．设二维随机变量(X,Y)在区域D:0?x?1，|y|?x内服从均匀分布，求边缘概率密度。 解(X,Y)的概率密度为 关于X和Y的密度为

0 y D 1 x 35 / 11

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?1?|y|,|y|?1, ???0,其他. 7．设(X,Y)的概率密度为 求边缘密度和概率P(X?Y?1)

解

?12y x=y x+y=1?1?2e?e.

?10 x 8．一电子仪器由两个部件组成，以X和Y分别表示两个部件的寿命（单位：千小时）已知X,Y的联合分布函数为： （1）问X,Y是否独立？为什么？

（2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率. 解（1）先求边缘分布函数：

因为F(x,y)?FX(x)?FY(y)，所以X,Y独立.

（2）P(X?0.1,Y?0.1)?P(X?0.1)P(Y?0.1)?[1?P(X?0.1)][1?P(Y?0.1)]

?e?0.05?e?0.05?e?0.1.

9．设(X,Y)的概率密度为 间X,Y是否独立？ 解边缘密度为

因为f(x,y)?fX(x)?fY(y)，所以X,Y独立. 10．设(X,Y)的概率密度为

?8xy,0?x?y?1,f(x,y)??

?0,其他.问X,Y是否独立. 解边缘密度

因为f(x,y)?fX(x)?fY(y)，所以X,Y不独立。 11．设(X,Y)的概率密度为

试证明X与Y不独立，但X与Y是相互独立的。 证先求X,Y的联合分布函数F(x,y) 关于X的边缘分布函数为

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2

2y 1 y=x 0 x y 0 x