内容发布更新时间 : 2024/12/23 20:24:01星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

基本初等函数

第一讲 幂函数

1、幂函数的定义

?y?x一般地，形如（x?R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，?是常数.

如y?x,y?x,y?x注意：

213?14等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.

y?x?中，前面的系数为1，且没有常数项

122、幂函数的图像

（1）y?x （2）y?x （3）y?x2 （4）y?x?1 （5）y?x3

定义域 奇偶性 12y?x R 奇 y?x R 偶 2y?x R 奇 3y?x y?x?1 ?x|x?0? 非奇非偶 ?x|x?0? 奇 在第Ⅰ象限单调增减在 第Ⅰ象限单调在 第Ⅰ象限单在 第Ⅰ象限单在 第Ⅰ象限单在 第Ⅰ象限单调递减 性 递增 调递增 调递增 调递增 定点 3、幂函数的性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：1?1）；

（2）??0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,??)上是增函数．特别地，当??1时，幂函数的图象下凸；当0???1时，幂函数的图象上凸；

（3）??0时，幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于??时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

x（1，1） （1，1）

（1，1） （1，1） （1，1） 1

分数指数幂概念 有理指数幂运算性质

mna?nam aras?ar?s(a?0,r,s?Q)；

a?mn?nam＝1nam (ar)s?ars(a?0,r,s?Q)

(a?0,m,n?N*,且n?1) (ab)r?arbr(a?0,b?0,r?Q)

第二讲 指数函数

1、指数

（1）n次方根的定义

若xn=a，则称x为a的n次方根，“n”是方根的记号.

在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.

（2）方根的性质

?a①当n为奇数时，nan=a. ②当n为偶数时，nan=|a|=???a（3）分数指数幂的意义

①a=nam（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）. ②a?mn(a?0),

(a?0).mn=

1amn=

1nam（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.

2、指数函数的定义

一般地，函数y?a（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R. 说明：因为a＞0，x是任意一个实数时，a是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.

xx 2

x??当x?0时,a等于0若a?0,? x??当x?0时,a无意义若a＜0，如y?(?2),先时,对于x=,x?xx161等等,在实数范围内的函数值不存在. 8x1x若a=1, y?1?1, 是一个常量， a为常数,象y=2-3,y=2,y?xx,y?3x?5,y?3x?1等等, 不符合y?ax(a?0且a?1)的形式,所以不是指数函数.

3、 指数函数的图像及其性质

yy=ax ( a > 1）y=a x y(0＜a＜1)1图象特征O x 1函数性质O x a＞1 0＜a＜1 a＞1 0＜a＜1 向x轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+ 函数图象都过定点（0，1） a0=1 自左向右， 自左向右， 图象逐渐上升 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图 在第一象限内的图 象纵坐标都大于1 象纵坐标都小于1 x＞0，ax＞1 x＞0，ax＜1 在第二象限内的图 在第二象限内的图 象纵坐标都小于1 象纵坐标都大于1 x＜0，ax＜1 x＜0，ax＞1

（1）底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.

（2）在[a,b]上,f(x)=ax（a＞0且a≠1）值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]; （3）若x?0,则f(x)?1;f(x)取遍所有正数当且仅当x?R;

（4）对于指数函数f(x)?ax（a＞0且a≠1），总有f(1)?a;

（5）当a＞1时，若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)；

第三讲 对数函数

1、 对数

（1）对数的概念

一般地，若ax?N(a?0,且a?1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x?logaN

a叫做对数的底数，N叫做真数.

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