内容发布更新时间 : 2024/12/23 18:18:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
∵DE=EB=BF=5,CF=2, ∴AD=BC=7,AE=2,
在Rt△ABE中,∵∠A=90°,BE=5,AE=2, ∴AB=
=
,
∵S△BEF=S△PBE+S△PBF,PM⊥BE,PN⊥BF, ∴?BF?EH=?BE?PM+?BF?PN, ∵BE=BF, ∴PM+PN=EH=
,
∵四边形PMQN是平行四边形, ∴四边形PMQN的周长=2(PM+PN)=2
(3)①证明:如图3中,连接BP,作EH⊥BC于H.
.
∵ED=EB=BF=a,CF=b, ∴AD=BC=a+b, ∴AE=AD﹣DE=b, ∴EH=AB=
,
∵S△EBP﹣S△BFP=S△EBF,
∴BE?PM﹣?BF?PN=?BF?EH, ∵BE=BF, ∴PM﹣PN=EH=
,
∵四边形PMQN是平行四边形, ∴QN﹣QM=(PM﹣PN)=
.
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②如图4,当点P在线段FE的延长线上运动时,同法可证:QM﹣QN=PN﹣PM=
【点评】本题属于四边形综合题,考查了矩形的性质和判定,翻折变换,等腰三角形的性质,平行四边形的性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造特殊四边形解决问题,学会利用面积法证明线段之间的关系,属于中考压轴题.
6. (2019?湖南岳阳?10分)如图1,△AOB的三个顶点A.O、B分别落在抛物线F1:y=x+x的图象上,点A的横坐标为﹣4,点B的纵坐标为﹣2.(点A在点B的左侧) (1)求点A.B的坐标;
(2)将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB',抛物线F2:y=ax+bx+4经过A'、B'两点,已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点,且点A'恰好在以OM为直径的圆上,连接OM、A'M,求△OA'M的面积;
(3)如图2,延长OB'交抛物线F2于点C,连接A'C,在坐标轴上是否存在点D,使得以A.O、D为顶点的三角形与△OA'C相似.若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
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【分析】(1)把x=﹣4代入抛物线F1解析式求得y即得到点A坐标;把y=﹣2代入抛物线F1解析
式,解方程并判断大于﹣4的解为点B横坐标.
(2)根据旋转90°的性质特点可求点A'、B'坐标(过点作x轴垂线,构造全等得到对应边相等)及OA'的长,用待定系数法求抛物线F2的解析式,进而求得对称轴.设点M纵坐标为m,则能用m表示A'M、OM的长度.因为点A'恰好在以OM为直径的圆上,即∠OA'M为圆周角,等于90°,故能根据勾股定理列得关于m的方程,解方程求得m的值即求得A'M的长,OA'?A'M即求得△OA'M的面积.
(3)求直线OB'解析式,与抛物线F2解析式联立方程组,求解即求得点C坐标,发现A'与C纵坐标相同,即A'C∥x轴,故∠OA'C=135°.以A.O、D为顶点的三角形要与△OA'C相似,则△AOD必须有一角为135°.因为点A(﹣4,﹣4)得直线OA与x轴夹角为45°,所以点D不能在x轴或
y轴的负半轴,在x轴或y轴的正半轴时,刚好有∠AOD=135°.由于∠AOD的两夹边对应关系不明
确,故需分两种情况讨论:△AOD∽△OA'C或△DOA∽△OA'C.每种情况下由对应边成比例求得OD的长,即得到点D坐标.
【解答】解:(1)当x=﹣4时,y=×(﹣4)+×(﹣4)=﹣4 ∴点A坐标为(﹣4,﹣4) 当y=﹣2时,x+x=﹣2
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解得:x1=﹣1,x2=﹣6 ∵点A在点B的左侧 ∴点B坐标为(﹣1,﹣2)
(2)如图1,过点B作BE⊥x轴于点E,过点B'作B'G⊥x轴于点G ∴∠BEO=∠OGB'=90°,OE=1,BE=2 ∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB' ∴OB=OB',∠BOB'=90°
∴∠BOE+∠B'OG=∠BOE+∠OBE=90°
∴∠B'OG=∠OBE 在△B'OG与△OBE中
∴△B'OG≌△OBE(AAS) ∴OG=BE=2,B'G=OE=1 ∵点B'在第四象限 ∴B'(2,﹣1)
同理可求得:A'(4,﹣4) ∴OA=OA'=
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∵抛物线F2:y=ax+bx+4经过点A'、B'
∴ 解得:
∴抛物线F2解析式为:y=x﹣3x+4
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∴对称轴为直线:x=﹣=6
∵点M在直线x=6上,设M(6,m)
∴OM=6+m,A'M=(6﹣4)+(m+4)=m+8m+20 ∵点A'在以OM为直径的圆上 ∴∠OA'M=90° ∴OA'+A'M=OM ∴(4
)+m+8m+20=36+m
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解得:m=﹣2 ∴A'M=