内容发布更新时间 : 2024/6/30 14:22:04星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

3. （2019四川攀枝花，24，12分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y＝3x的图3象上运动（不与O重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ。 （1）求线段AP长度的取值范围；

（2）试问：点P运动过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由。 （3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标.

yAPxOQ

【思路分析】（1）点P是y＝3x上的动点，求线段AP长度的取值范围，可考虑线段AP的最小值及最3大值；

（2）思路一（共圆法）：根据点P所在的不同位置，分情况讨论，证得∠PAQ＝30°; 思路二（相似法）：根据点P所在的不同位置，分情况讨论，证得∠PAQ＝30°． （3）设P（m，4m?233m），Q（a，0），根据勾股定理利用关系式OA2＋OQ2＝AP2＋PQ2，求得a＝. 33，进而得点Q的坐标. 分情况OP＝OQ，PO＝PQ，QO＝QP时，讨论点Q的坐标即可.

【解题过程】解：（1）作AH⊥OP，则AP≥AH． ∵点P在y＝3x的图象上， 3∴∠HOQ＝30°，∠HOA＝60°． ∵A（0，2），∴AH＝AO·sin60°＝3． ∴AP≥3．

yAHOQ

（2）∠QAP是定值． 法一：（共圆法）

①当点P在第一象限的线段OH的延长线上时， 由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得∠APQ＋∠AOQ＝180°， ∴P、Q、O、A四点共圆 ∴∠PAQ＝∠POQ＝30°．

Px②当点P在第一象限的线段OH上时， 由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得P、O、Q、A四点共圆 ∴∠PAQ＋∠POQ＝180°，又∵∠POQ＝150°， ∴∠PAQ ＝180°－∠POQ＝30°．

yAQPO

③当点P在第三象限时，特殊角的三角函数值； 由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得Q、P、O、A四点共圆 ∴∠PAQ＝∠POQ＝30°．

yAxQPOHx

法二：（相似法）

①当点P在第三象限时， 由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得△BPQ∽△BOA． ∴

PBQB? ∴△QBA∽△PBO． OBAB∴∠PAQ＝∠POQ＝30°，

yAQBPOx

②当点P在第一象限且点B在AP延长线上时， 由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得∠BPQ＝∠BOA＝90°， ∴△BPQ∽△BOA．∴

BPBQ? BOBA∴△BPO∽△BQA．∴∠PAQ＝∠POB＝30°．

yAPOQBx

③当点P在第一象限且点B在PA延长线上时， 由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得∠BPQ＝∠BOA＝90°， ∴△BPQ∽△BOA．∴

BPBQ? BOBA∴△BPO∽△BQA．∠PAQ＝∠POQ＝30°．

yPABOQx

（3）设P（m，3m），Q（a，0）， 3∵OA2＋OQ2＝AP2＋PQ2 ∴22＋a2＝m2＋(

332m－2) 2＋(a－m) 2＋(m) 33整理，得a＝

4m?23. 3∴Q（4m?23，0）. 3yPAOMQx

∴OP2＝

442162163m＋. m，OQ2＝m－93393m＋

PQ2＝

424m－

994. 3①当OP＝OQ时，则

42162164m＝m－3m＋ 3993整理,得m2－43m＋3＝0，解得m＝23±3． ∴Q1 (23＋4,0)，Q2(23－4,0) ．

yPAOQx

②当PO＝PQ时，则

424244m＝m－3m＋ 3993整理得：2 m2＋3m－3＝0，

解得解得m＝3，或m＝－3. 2当m＝3时，Q点与O重合，舍去， 2∴m＝－3. ∴Q3 (－23,0).

yAQPOx

③当QO＝QP时， 则

1621644443m＋＝m2－3m＋ m－

993993整理，得m2－3m＝0. 解得m＝3 ∴Q4 (23,0). 3yAPOQx

综上，当△OPQ为等腰三角形时，点Q的坐标为Q1 (23＋4,0)，Q2(23－4,0)，Q3 (－23,0)，Q4 (23,0). 3【知识点】圆内接四边形；线段的最值；相似三角形的判定与性质；勾股定理；一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；分类讨论

4. （2019山东省济宁市，题号20，分值8）

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是弧AC的中点，E为OD延长线上一点，∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）若DH＝9，tanC＝E C D H F A O B

3，求直径AB的长． 4

【思路分析】通过等弧得到相等的弦，接着得到相等的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，通过等量代换得到角度之间的关系，从而证明出切线；通过三角函数求得直角三角形的边，用勾股定理求出直径． 【解题过程】∵D是弧AC的中点，∴AD＝CD∴∠DAC＝∠C∵∠CAE＝∠EAD＋∠DAC，∠CAE＝2∠C，∴∠EAD＝∠C，∵∠C＝∠B，∴∠B＝∠EAD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠B＝90°，

∴∠EAD＋∠DAB＝90°，∴∠EAO＝90°，∴AE是⊙O的切线；

DH393?，∴?，∴AD＝12，在AD4BD43AD3?，∴BD＝16， ∵∠ADB△BAD中∠ADB＝90°，AD＝12，∴tan∠B＝ tan∠C＝，∴tan∠B ＝

4BD4在△ADH中∠ADH＝90°，DH＝9，∠DAH＝∠C，∴tan∠DAH＝＝90°，∴AB＝AD2?BD2?122?162?20．

【知识点】在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦也相等，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周

角是直角，三角函数，勾股定理；

5. （2019江苏省无锡市，28，10）如图1，在矩形ABCD中，BC=3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作?PAB关于直线PA的对称?PAB，设点P的运动时间为t?s?.

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