内容发布更新时间 : 2024/6/3 20:19:01星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

（1）若AB=23，①如图2，当点B'落在AC上时，显然△PCB'是直角三角形，求此时t的值； ②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由；

'（2）当P点不与C点重合时，若直线PB与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠

'PAM=45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论∠PAM=45°是否总是成立？请说明理由.

DCDB'B'PPCDCABABAB

图1 图2 备用

第28题图

【思路分析】本题考查了与矩形相关的轴对称问题，（1）①先利用勾股定理求AC，再证△CB?P∽△CBA得比例式求PB，最后用勾股定理列方程求t的值；

②先用t表示相关线段，再分三种情况讨论，借助勾股定理或直接计算方法求t；

（2）易得四边形ABCD为正方形，于是AB=AB?=AD，从而可证全等得∠DAM=∠B?AM，由轴对称得∠PAB=∠PAB?=2∠DAM+∠PAD，代入∠PAB+∠PAD=90°中得到结论. 【解题过程】

（1）①∵∠B=90°，∴AC=AB2?BC2?BCA，

∴△CB?P∽△CBA ，

'??232?32?21 ，∵∠CB?P= ∠CBA=90°，∠B?CP= ∠

21?23B?PCB?B?P?，故，解得B?P?27?4.由轴对称可得PB=27?4，?3CBBA23∴ t=27?4；

②由已知可得PB=B?P=t，PC=3-t，DA=BC=3，AB=AB?=23，

分三种情况：1°如图，当∠PCB?=90 °时，由勾股定理得DB?=3，∴CB?=3，在△PCB?中， PC2+CB?2= PB?2，∴(3) 2+ (3 - t) 2 = t 2，解得 t=2.

③ ②

③ ④第28题答图

2°如图，当∠PCB?=90 °时，由勾股定理得DB?=3，∴CB?=33，在△PCB?中PC2+CB?2= PB?2，(33)2+ (t -3) 2 = t 2，解得 t=6.

3°当∠CPB?=90 °时，易证四边形 ABPB?为正方形，PB?=AB=23，∴ t=23；

（1） 如图④，四边形ABCD为正方形，t>3时，∵AB=AB?=AD，AM=AM，Rt△MDA≌Rt△B?AM（HL），

∴∠DAM=∠B?AM，

由轴对称可得∠PAB=∠PAB?=2∠DAM+∠PAD，∴∠PAB+∠PAD=2∠DAM+2∠PAD=90°，∴∠PAM=∠DAM+∠PAD=45°.

【知识点】矩形的性质；正方形的性质；全等三角形判定与性质；轴对称；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想

6.（2019湖南怀化，23，12分） 如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH. （1）计算∠CAD的度数；

（2）连接AE，证明：AE=ME； （3）求证：ME2=BM·BE.

【思路分析】（1）根据A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点可得∠COD的度数，根据圆周角定理可得∠CAD的度数，同理可得∠EBD，∠ACE，∠BDA，∠CEB的度数；

（2）根据圆周角定理可得∠AEB=∠BDA，∠DAE=∠EBD，根据（1）可得出∠MAE=∠AME，进而得出结论；

（3）连接AB，由（2）△ABE∽△NAE，△ABM≌△EAN，进而得出即可得出答案. 【解题过程】（1）解：∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点， ∴∠COD=

ABBE?，AN=BM，根据AE=MEANAE1360=72°，∴∠CAD=∠COD=36°. 52同理可得∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°.

（2）∵∠AEB=∠BDA，∠DAE=∠EBD，

又∵∠CAD=∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°， ∴∠MAE=72°，∠AEB=36°， ∴∠MAE=∠AME=72°， ∴AE=ME. （3）连接AB.

由（2）可知∠NAE=∠AEN=36°，∠ABE=∠AEB=36°，AB=AE ∴△ABE∽△NAE，△ABM≌△EAN， ∴

ABBE?，AN=BM， ANAE∴AB·AE=BE·AN， ∵AE=ME， ∴ME2=BM·BE.

.

【知识点】圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质

7. （2019甘肃武威，21，8分）已知：在?ABC中，AB?AC．

（1）求作：?ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）若?ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC?6，则SO? ．

【思路分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作O，O即为所求．

（2）在Rt?OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题． 【解题过程】解：（1）如图，O即为所求．

（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E． 由题意OE?4，BE?EC?3， 在Rt?OBE中，OB?32?42?5， ∴S圆O???52?25?． 故答案为25?．

【知识点】等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心

8. （2019广东广州，23，12分）如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．

（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．

【思路分析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求． （2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x，构建方程求出x即可解决问题． 【解题过程】解：（1）如图，线段CD即为所求．

（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x． ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC∵BC＝CD， ∴

，

6，

∴OC⊥BD于E． ∴BE＝DE，

∵BE＝BC﹣EC＝OB﹣OE， ∴6﹣（5﹣x）＝5﹣x， 解得x

，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∵BE＝DE，BO＝OA， ∴AD＝2OE

，

∴四边形ABCD的周长＝6+6+10．

【知识点】作图题； 圆周角定理；解直角三角形

9.（2019湖北荆门，21，10分）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．