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(1)以时间(年)为横轴,以汇率(ER)与两个消费者价格指数为纵轴作图。 (2)求相对价格比率(RPR)(用英国CPI除美国CPI)。 (3)用ER对RPR作图。
(4)目测描绘通过散点图的回归线。 答:(1)如图所示,两个国家的消费者价格指数均随着时间的推移而增长,但汇率与时间之间的关系在不同时期则有所不同,但在1985年广场协议签署之后,G7纷纷有意调低了美元对本国货币的汇率。
(2)、(3)、(4)从下图中可以看出,汇率(ER)(英镑兑美元)同相对价格比率(RPR)之间大致呈现负相关关系。
第二章 线性回归的基本思想:双变量模型
2.1 复习笔记
一、回归的含义 1.回归分析的概念
回归分析用于研究一个变量(称为被解释变量或应变量)与另一个或多个变量(称为解释变量或自变量)之间的关系,但它并不一定表明存在因果关系;即它并不意味着自变量是因,应变量是果。如果两者之间存在因果关系,则一定建立在某个经济理论基础之上。总之,回归并不意味着存在因果关系,因果关系的判定或推断必须建立在经实践检验的相关理论基础之上。
2.回归分析的目的
(1)根据自变量的取值,估计应变量的均值。 (2)检验(建立在经济理论基础之上的)假设。
(3)根据样本外自变量的取值,预测应变量的均值。 (4)可同时进行上述各项分析。
二、总体回归函数(PRF)
双变量模型的线性总体回归函数如下式所示:
E?YXi??B1?B2Xi (2-1)
在式(2-1)中,EYXi表示与给定X值相对应的Y的均值。下标i代表第i个子总体。B1、B2称为参数,也称为回归系数。B1称为截距,B2称为斜率。斜率系数度量了X每变动一单位,Y(条件)均值的变化率。
三、总体回归函数的统计或随机设定
总体回归函数给出了自变量每个取值相应的应变量的平均值,但对每一个个体,其应变量并不一定等于平均值,而是存在一定的偏差,因此总体回归函数的随机形式如下式所示:
Yi?B1?B2Xi?ui (2-2)
其中,ui表示随机误差项,或简称为误差项。误差项是一个随机变量,其值无法先验确定,通常用概率分布(例如正态分布或t分布)描述随机变量。
式(2-2)称为随机或统计总体回归函数;而式(2-1)称为确定或非随机总体回归函数。后者表示给定X各个Y的平均值。而前者表示由于误差项的存在,个体值在均值附近是如何变动的。
四、随机误差项的性质
1.误差项代表了未纳入模型变量的影响; 2.误差项代表内在随机性; 3.误差项代表了度量误差;
4.误差项代表众多的细小影响因素。
五、样本回归函数
要估计式(2-1)的总体回归函数,只要求出相对每个X的Y的条件均值,然后再把这些均值连接起来,就得到了总体回归线。但是实际中很少能够获得整个总体的数据。通常,仅仅有来自总体的一个样本,因此就需要根据样本信息估计总体回归函数。
样本回归函数形式为:
????b?bX (2-3) Yi12i
?=总体条件均值EYX的估计量;b1?B1的估计量;b2?B2的估计量。 其中,Yii??同理,并非所有的样本数据都准确地落在各个样本回归线上。因此,与建立随机总体回归函数式(2-2)一
样,需要建立随机样本回归函数:
Yi?b1?b2Xi?ei (2-4)
其中,ei是ui的估计量。ei称为残差项,简称残差。从概念上讲,它与ui类似,可作为ui的估计量,SRF中ei的产生原因与PRF中ui的产生原因相同。ei表示了Y的实际值与根据样本回归得到的估计值的差。
? (2-5) ei?Yi?Yi总之,回归分析的主要目的是根据样本回归函数
Yi?b1?b2Xi?ei
估计总体回归函数
Yi?B1?BXi?ui
因为通常的分析是建立在来自某个总体的单个样本上的。但由于抽样的差异性,根据SRF得到的PRF的估计值仅仅是近似值。事实上,无法观察到B1、B2和u。一旦得到某个样本,所能观察到的只是它们的替代量b1、
b2和e。
六、“线性”回归的特殊含义 1.变量线性
变量的线性是指应变量的条件均值是自变量的线性函数,所以下面的函数不是线性的:
E(Y)?B1?B2Xi2 (2-6)
E(Y)?B1?B21 (2-7) Xi因为在式(2-6)中Xi以平方形式出现,而在式(2-7)中Xi以倒数形式出现。对于解释变量线性的回归模型,解释变量的单位变动引起的应变量的变化率为一常数,也就是说,斜率保持不变。但对于解释变量非线性的回归模型,斜率是变化的。
2.参数线性
参数线性是指应变量的条件均值是参数B的线性函数,而变量之间并不一定是线性的。与变量线性函数类似,如果参数B2仅以一次方的形式出现,则称函数为参数线性的。按照这个定义,模型(2-6)和式(2-7)都是线性模型,因为B1、B2以线性形式进入模型,变量X以非线性进入模型则无关紧要。但下面的模型是参数非线性的,因为B2以平方形式出现:
2E(Y)?B1?B2Xi (2-8)
在计量经济学中,线性回归是指参数线性的回归(即参数仅以一次方的形式出现在模型中),而解释变量并
不一定是线性的。
七、从双变量回归到多元线性回归