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《数学分析》教案

第十七章 多元函数微分学

§ 1 可微性

一． 可微性与全微分： 1． 可微性： 由一元函数引入.

亦可写为

,

时

2． 全微分: 例1 考查函数

二. 偏导数:

1. 偏导数的定义、记法:

.

在点

处的可微性 . P107例1

2. 偏导数的几何意义: P109 图案17—1. 3. 求偏导数:

例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 . 例5

. 求偏导数.

例6

. 求偏导数.

例7

. 求偏导数, 并求

.

例8 . 求

和

.

解

=

,

- 1 -

《数学分析》教案

=

.

例9

证明函数 在点 连续 , 并求

和

.

证

.

在点

连续 .

,

不存在 .

三. 可微条件:

1. 必要条件: Th 1 设

为函数

定义域的内点.

在点

可微 ,

和

存在 , 且

. ( 证 )

由于

, 微分记为

.

定理1给出了计算可微函数全微分的方法.

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《数学分析》教案

两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例10 考查函数

在原点的可微性 . [1]P110 例5 .

2. 充分条件: Th 2 若函数 点

处连续 . 则函数

在点 可微 .

的偏导数在的某邻域内存在 , 且 在点

和

在

可微 . ( 证 ) P111

Th 3 若则函数在点

处连续,

点

存在 ,

例11

证

因此 , 即 ,

在点

可微 ,

. 但

时, 有

,

沿方向

不存在,

沿方向

极限

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