内容发布更新时间 : 2024/11/17 2:13:22星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第一节数系的扩充与复数的引入

1．复数的有关概念 (1)复数的概念：

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)复数的模：

―→

向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2.

2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi

复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．

―→

平面向量OZ .

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

z1a＋bi?a＋bi??c－di?ac＋bdbc－ad④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．

z2c＋di?c＋di??c－di?c2＋d2c2＋d2(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

[小题体验]

1．(2019·杭州高三质检)设复数z＝虚部为________．

5

(其中i为虚数单位)，则复数z的实部为________，2－i

解析：因为z＝＝＝2＋i，所以复数z的实部为2，虚部为1.

2－i?2－i??2＋i?答案：2 1

2．(2019·浙江名校联考)设(a＋i)(1－bi)＝3－i(a，b∈R，i是虚数单位)，则a＋b＝______；若z＝a＋bi，则|z|＝______.

解析：因为(a＋i)(1－bi)＝(a＋b)＋(1－ab)i＝3－i，所以a＋b＝3,1－ab＝－1，则ab＝2，所以|z|＝答案：3

a2＋b2＝5

?a＋b?2－2ab＝

9－4＝5.

5

5?2＋i?

3．(教材习题改编)四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为________．

答案：3＋5i

1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义． 2．两个虚数不能比较大小．

3．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，

22

z2∈C，z21＋z2＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z＜0在复数范围内有可能成立．

[小题纠偏]

1．设复数z1＝2－i，z2＝a＋2i(i是虚数单位，a∈R)，若z1·z2∈R，则a＝________. 解析：依题意，复数z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i是实数，因此4－a＝0，a＝4.

答案：4

2．设i是虚数单位，若复数(2＋ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________． 解析：因为(2＋ai)i＝－a＋2i， 又其实部与虚部互为相反数， 所以－a＋2＝0，即a＝2. 答案：2

考点一 复数的有关概念?基础送分型考点——自主练透?

[题组练透]

1．(2018·台州二模)复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )

A．2 C．－2

B．1 D．1或2

解析：选A 由a2－3a＋2＝0，得a＝1或2.因为复数是纯虚数，所以a≠1，所以可知a＝2.

2．已知i为虚数单位，a∈R，若A.2 C.3

2－i

为纯虚数，则复数z＝2a＋2i的模等于( ) a＋i

B.11 D.6

2－i

解析：选C 由题意得，＝ti(t≠0)，

a＋i∴2－i＝－t＋tai，

???t＝－2，?－t＝2，

∴?解得?1 ???ta＝－1，?a＝2，

∴z＝2a＋2i＝1＋2i，|z|＝3，故选C.

3．(2019·镇海中学模拟)已知i是虚数单位，复数z＝2－i，则z·(1＋2i)的共轭复数为( ) A．2＋i C．4－3i

B．4＋3i D．－4－3i

解析：选C 因为z＝2－i，所以z·(1＋2i)＝(2－i)(1＋2i)＝4＋3i，所以其共轭复数为4－3i.

4．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.

解析：(z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i. 设z2＝a＋2i，a∈R，

则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. ∵z1·z2∈R，∴a＝4. ∴z2＝4＋2i. 答案：4＋2i

[谨记通法]

求解与复数概念相关问题的技巧