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2017年第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题

一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）

1. 在2017个自然数中至少有一个两位数, 而且其中任意两个数至少有一个三 位数, 则这2017个数中有（ ）个三位数. 2. 如右图（1）所示, 一个棋子从A到B只能沿着横平竖直的路线在网格中行走, 给定棋子的一条路线, 将棋子在某一列中经过的格子数标在该列的上方, 在某一行中经过的格子数标在该行的左方.如果右图（2）中网格上方和左方的数字也是根据以上规则确定的, 那么图中x代表的数字为（ ）.

3. 用[x]表示不超过x的最大整数, 例如[10.2]=10. 则

等于( ).

4. 盒子里有一些黑球和白球. 如果将黑球数量变成原来的5倍, 总球数将会变 成原来的2倍. 如果将白球数量变成原来的5倍, 总球数将会变成原来的( )倍. 5. 能被自己的数字之和整除的两位数中, 奇数共有( )个.

6. 如右图, 将一个正方形硬纸片的四个角分别剪去一个等腰 直角三角形, 最后剩下一个长方形. 正方形边长和三角形直角边长都是整数. 若剪去部分的总面积为 40 平方厘米, 则长方形的面积是( )平方厘米.

7. 小龙从家到学校的路上经过一个商店和一个游乐场. 从家到商店距离是500 米, 用了7分钟; 从商店到游乐场以80米/分钟的速度要走8分钟; 从游乐场 到学校的距离是300米, 走的速度是60 米/分钟. 那么小龙从家到学校的平均速度是 米/分钟.

8. 亚瑟王在王宫中召见6名骑士, 这些骑士中每个骑士恰好有2名朋友. 他们围着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如右图）, 结果发现这种坐法, 任意相邻的两名骑士恰好都是朋友. 亚瑟王想重新安排座位, 那么亚瑟王有( )种不同方法安排座位, 使得每一个骑士都不与他的朋友相邻 (旋转以后相同的, 算同一种方法).

二、简答题（每小题15分, 共60分, 要求写出简要过程）

9. 如右图所示, 两个边长为6的正方形ABFE和CDEF拼成长方形ABCD. G为DE 的中点. 连接BG交EF于H. 求图中五边形CDGHF的面积.

10. 乌龟和兔子进行 1000 米赛跑, 兔子速度是乌龟速度的 5 倍, 当它们从起点同 时出发后, 乌龟不停地跑, 兔子跑到某一地点开始睡觉, 兔子醒来时乌龟已经领先它, 兔子奋起直追, 但乌龟到达终点时, 兔子仍落后 10 米. 求兔子睡觉期间, 乌龟跑了多少米?

11.如右图, 一个边长为 3 的正六边形被 3 组平行于其边 的直线分割成边长为 1 的 54 个小正三角形, 那么以这些小正三角形的顶点为顶点的正六边形共有多少个?

12. 如右图, 将 1 至 9 这九个数字填入网格中, 要求每个格子填一个数字, 不同格子填的数字不同, 且每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所 填数字之和是该格子中所填数字的整数倍. 已知左右格子已经填有数字 4 和 5 , 那么标有字母 x 的格子可以填的数字最大是多少?