内容发布更新时间 : 2024/5/17 21:57:03星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

２－２ 向量组的线性相关性

一、线性组合、线性表出及其与线性方程组的关系 例2.5［Ｐ８７ 不管］

定义2.4［Ｐ８７ －６行至Ｐ８８ １行］

ｎ维向量α１，α２，…，αｍ的一个线性组合，线性组合的系数； 向量β可由向量组α１，α２，…，αｍ线性表出（线性表示），线性表出的系数。 例（补）设β＝（ｂ１，ｂ２，ｂ３），αｉ＝（ａｉ１，ａｉ２，ａｉ３），ｉ＝１，２，３，那么

β可由α１，α２，α３线性表出

?向量方程ｘ１α１＋ｘ２α２＋ｘ３α３＝β有解 α１ α２ α３

?a11x1?a21x2?a31x3?b1? ??a12x1?a22x2?a32x3?b2有解。此时，

?ax?ax?ax?b2323333?131 线性方程组有唯一解?β可由α１，α２，α３线性表出，且表示法唯一；

线性方程组有无穷多解?β可由α１，α２，α３线性表出，且表示法不唯一。 例[结论]：向量组β1，β2，…，βｍ中每一个向量βi均可由该向量组线性表出。 证明：βI＝０β１＋…＋０βｉ－１＋１βｉ＋０βｉ＋１＋…＋０βｍ， ｉ＝１，２，…，ｍ。

作业：Ｐ１１２：１９（１）用定理做，（２）除用定理做外，还可用观察法做。

二、线性相关、线性无关及其与齐次线性方程组解的关系： 对每一个向量组α１，α２，…，αｍ，总有

０α１＋０α２＋…＋０αｍ＝０。 所有向量组的共性。

定义２．５：设α１，α２，…，αｍ是一组ｎ维向量，如果存在一组不全为零的常数ｋ１，

ｋ２，，ｋｍ，使得

ｋ１α１＋ｋ２α２＋…＋ｋｍαｍ＝０ （２．６）

则称向量组α１，α２，…，αｍ是线性相关的；否则，称为线性无关的。即如果有 ｋ１α１＋ｋ２α２＋…＋ｋｍαｍ＝０

成立，则必有ｋ１＝ｋ２＝…＝ｋｍ＝０，则称α１，α２，…，αｍ是线性无关的。 例［Ｐ８８：１１行－２３行］ 对于向量组 ξ１＝（１，１，０），ξ２＝（１，２，０），ξ３＝（１，３，１）

令 ｘ１ξ１＋ｘ２ξ２＋ｘ３ξ３＝０，

?x1?x2?x3?0?即 ?x1?2x2?3x3?0，解得：ｘ１＝ｘ２＝ｘ３＝０，

?x3?0?所以ξ

１

，ξ

２

，ξ

３

线性无关。

1

例２．８［Ｐ９２］讨论向量组α１，α２，α３的线性关系：α１＝（１，－２，３，４），

α２＝（－１，０，２，－２），α３＝（－１，－２，７，０）。 解：令 ｘ１α１＋ｘ２α２＋ｘ３α３＝０ （２．１１）

?x1?x2?x3?0??2x?2x?0?13 即 ?，

3x?2x?7x?023?1??4x1?2x2?0?1?1?1??1?1?1??1?1?1??1??20?2??0?2?4??01??02????????? Ａ＝??3?0510??01?027?2????????4?20024012???????001001?2??， 0??0??x1??x3通解为：?（ｘ３为自由未知量），

x??2x3?2令ｘ３＝－１，得该齐次线性方程组的一个非零解：ｘ１＝１，ｘ２＝２，ｘ３＝－１。

于是有：α１＋２α２－α３＝０，所以α１，α２，α３线性相关。 定理：设αｉ＝（ａｉ１，ａｉ２，…，ａｉｎ），ｉ＝１，２，…ｍ，

那么α１，α２，…，αｍ线性相关（线性无关）

?齐次向量方程ｘ１α１＋ｘ２α２＋…＋ｘｍαｍ＝０有非零解（只有零解）

： ?对应齐次线性方程组有非零解（只有零解）

?a11x1?a21x2???am1xm?0?ax?ax???ax?0?121222m2m ?。

?????????a1nx1?a2nx2???amnxm?0例２．９［Ｐ９４－９５ 了解］

作业：Ｐ１１１：４（５）课内， ５读题， ７读题。 Ｐ１１３：３（２）课内 Ｐ１１４：４（１）读题

关于向量组线性相关性的常用结论：

１、例２．６［Ｐ８９－９０］称以下ｎ个ｎ维向量 （ｉ）

εｉ＝（０，…，０，１，０，…，０），ｉ＝１，２，…，ｎ，

为ｎ维单位向量组。证明： ε１，ε２，…，εｎ线性无关，而且每一个ｎ维向量α＝（а１，а２，…，аｎ），有α＝а１ε１＋а２ε２＋…＋аｎεｎ。

证明：令 ｋ１ε１＋ｋ２ε２＋…＋ｋｎεｎ＝０，

2

即ｋ１（1，0，…，0）＋ｋ２（0，1，0，…，0）＋…＋ｋｎ（0，…，0，1）＝０ 即 （ｋ１，ｋ２，…，ｋｎ）＝（０，０，…，０），

所以ｋ１＝ｋ２＝…＝ｋｎ＝０，ε１，ε２，…，εｎ线性无关。 α＝（а１，а２，…，аｎ）

＝（а１，0，…，0）＋（0，а２，0，…，0）＋…＋（0，…，0，аｎ） ＝ａ１（1，0，…，0）＋ａ２（0，1，0，…，0）＋…＋ａｎ（0，…，0，1） ＝а１ε１＋а２ε２＋…＋аｎεｎ。 ２、含零向量的向量组线性相关。

即，线性无关向量组不含零向量。

证明：设向量组α１，α２，…，αｍ中，α１＝０，则有不全为零的数１，０，…，０ 使 １·α１＋０·α２＋…＋０·αｍ＝０， 所以α１，α２，…，αｍ线性相关。 ３、一个向量α线性相关?α＝０；

一个向量α线性无关?α≠０。

证明：必要性：如果α线性相关，则存在常数ｋ≠０，使ｋα＝０，故?α＝０。 充分性：如果?α＝０，则有１·α＝０，所以α线性相关。 ４、定理２．１［Ｐ９０ 书］

逆否定理：向量组α１，α２，…，αｍ（ｍ≥２）线性无关?这ｍ个向量中的每一个

向量都不能由其余的ｍ－１个向量线性表出。

证明：［Ｐ９０：１４行至－４行 掌握］ 思考题：［Ｐ９７］ （１），（２）。 作业：［课内讲］ Ｐ１１１： ３（４） ４（１）、（２） Ｐ１１３： ３（１）

５、两个ｎ维向量线性相关?它们对应分量成比例；

即：两个ｎ维向量线性无关?它们对应分量不成比例。 证明：［Ｐ９０：－３行至Ｐ９１：５行 书］ 必要性：设α＝（ａ１，ａ２，…，ａｎ），β＝（ｂ１，ｂ２，…，ｂｎ）线性相关，则

其中一个向量可由另一个线性表出，不妨设α＝ｋβ，即（ａ１，ａ２，…，ａｎ）＝ｋ（ｂ１，ｂ２，…，ｂｎ）＝（ｋｂ１，ｋｂ２，…，ｋｂｎ），即α与β对应分量成比例。

充分性：如果α＝（ａ１，ａ２，…，ａｎ）与β＝（ｂ１，ｂ２，…，ｂｎ）对应分量成

比例，即（ａ１，ａ２，…，ａｎ）＝（ｋｂ１，ｋｂ２，…，ｋｂｎ），即α＝ｋβ，所以α，β线性相关。

作用：判断两个向量构成的向量组线性性质的简便方法。 作业：Ｐ１１１： ４（３）

线性相关、线性无关的几何解释［Ｐ９１：－１５行至Ｐ９２图２．４ 了解］ ６、例２．１１［Ｐ９５：１４－１６行 改变说法］

设向量组α１，α２，…，αｍ线性无关，添加向量β后，α１，α２，…，αｍ，β线

性相关，则β可由α１，α２，…，αｍ线性表出，而且表示法唯一。

3