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大学物理简明教程（上册）习题选解

第1章 质点运动学

1-1 一质点在平面上运动，其坐标由下式给出x?(3.0t?4.0t2)m，y?(?6.0t2?t3)m。求：（1）在

t?3.0s时质点的位置矢量；

（2）从t?0到t?3.0s时质点的位移；（3）前3s内质点的平均速度；（4）在t?3.0s时质点的瞬时速度；

（5）前3s内质点的平均加速度；（6）在t?3.0s时质点的瞬时加速度。

解：（1）r?(3.0t?4.0t2)i?(?6.0t2?t3)j m 将t?3.0s代入，即可得到 r3??27(i?j)m

（2）?r?r3?r0，代入数据即可。

（3）注意：v?r3?r03?0=?(9i?9j)m/s

（4）v?drdt=?(21i?9j)m/s。

（5）注意：a?v3?v0=?(8i?3j)m/s23?0

（6）a?dv=?(8i-6j)m/s2dt，代入数据而得。

1-2 某物体的速度为v0?(125i?25j)m/s，3.0s以后它的速度为v?(100i-75j)m/s。 在这段时间内它的平均加速度是多少？

解：a?v3?v03?0=?(8.33i?33.3j)m/s2

1-3 质点的运动方程为r?(i?4t2j?t k)m。（1）写出其速度作为时间的函数；（2）加速度作为时间的函数； （3）质点的轨道参数方程。

解：（1）v?drdt=(8t j?k)m/s （2）a?dvdt=8j m/s2； （3）x?1；y?4z2。

1-4 质点的运动方程为x?2t，y?2?t2（所有物理量均采用国际单位制）。求：（1）质点的运动轨迹；（2）从t?0到t?2s时间间隔内质点的位移?r及位矢的径向增量。

解：（1）由x?2t，得t?x2，代入y?2?t2，得质点的运动轨道方程为 y?2.0?0.25x2；

1

（2）位移 ?r?r2?r0=4(i?j)m 位矢的径向增量 ?r?r2?r0=2.47m。 （3）删除。

1-6 一质点做平面运动，已知其运动学方程为x?3cosπt，y?sinπt。试求：

（1）运动方程的矢量表示式；（2）运动轨道方程；（3）质点的速度与加速度。

解：（1）r?3cosπti?sinπtj；

2）x2（9?y?1

（3）v??π3sinπti?cosπtj；

y *1-6 质点A以恒

A 定的速率v?3.0m/s沿 ? a 直线y?30.0m朝?x方 B O x 向运动。在质点A通过y 题1-6图 轴的瞬间，质点B以恒 定的加速度从坐标原点

出发，已知加速度a?0.40m/s2，其初速度为零。试求：欲使这两个质点相遇，a与y轴的夹角?应为多大？ 解：提示：两质点相遇时有，xA?xB，yA?yB。因此只要求出质点A、B的运动学方程即可。或根据

(vt)2?y2?(1at2)2可解得：??60?2。

1-77 质点做半径为R的圆周运动，运动方程为

s?v120t?2bt，其中，s为弧长，v0为初速度，b为正

的常数。求：（1）任意时刻质点的法向加速度、切向加速度和总加速度；（2）当t 为何值时，质点的总加速度在数值上等于b？这时质点已沿圆周运行了多少圈？

解：（1）先求速率v?dsdt?v0?bt； a?dvv2?v2dt??b；a0?bt?tn?R?R； （2）令a?a2?a2tn?1Rb2R2??v40?bt?=b 解得 t?v0b； 根据N?S2?R， 将t代入得质点

2v0运行圈数：N?。 4πbR解：同上题，用积分法得 v = 8(1?e?4t)m/s。

*1-8 在离水面高 为h的河岸上，有人以恒 定的速率u拉绳子使小船 u C l h o A 1-12 子弹以初速度v0?200m/s发射，初速度与水平方向的夹角为60?。求：（1）最高点处的速度和加靠岸。求：当小船与河岸 题1-8图x 的水平距离为x时，小船 的速度和加速度的大小。 解：（1）设船速为v，绳长为l。注意：人拉绳，船前进时l、x和?都在变。 由图中可找到几何关系l2?h2?x2，两边求导得2ldlddt?2xxdt， 而 u?dldt， v?dxdt， 故小船的速度 v?dxdt?lxu=u1?h2x2 （2）将上式对t求导，得a?dvdt=ddt（u1?h2x2） 小船的加速度的大小为a =h22x3u。 1-9 一物体沿直线运动，其速度和时间的关系为v?(0.1?0.02t2)m/s，当t?0时，物体在坐标原点右方0.2m处。求：（1）t?0和t?2s末时物体的加速度；（2）t?0和t?2s末时物体的位置；（3）物体是否作匀加速直线运动？ 解：已知v?(0.1?0.02t2)m/s，求导得a?0.04t，积分并代入初始条件，得x?0.2?0.1t?0.023t3。 （1）将t?0和t?2s代入得x = 0.2m；x = 0.453m （2）将t?0和t?2s代入得a = 0；a = 0.08m/s2。 1-10 物体沿直线运动，其加速度和时间的关系为a?(4?t2)m/s2。已知t?3.0s时，该质点的速度为v?2.0m/s，坐标x?9.0m。求质点的运动方程。 解：这是运动学第二类问题，用积分法，并带入初始条件得 x?2t2?112t4?t?0.75m。 1-11 物体沿直线运动， 其加速度和速度的关系 为a?(32?4v)m/s2，已知t?0时，x?0，v?0。求该物体在任意位置的速度。

速度；（2）轨道最高点的曲率半径。

解：（1）在最高点处速度沿轨道切线方向，即水平方向，大小为v0cos?=100m/s； 加速度的方向指向地心，大小为 g。

22（2）根据an?v?，得曲率半径??va?1000m。

n1-13 飞机以100m/s的速度沿水平直线飞行，在距离地面100m高处，驾驶员要将救灾物资投放到前方预定地点。（1）此时目标应在飞机下前方多远？（2）物品投出2s后的切向加速度和法向加速度各为多少？（提示：任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为

??arctangtv。

解：（1）这是平抛运动。就在物资的运动学方程为： 水平方向：x?vt，

竖直方向：y?12gt2。 解得 x?2y?2?100g9.8?452m （2）at?gsin?，an?gcos?，而??arctangtv， 解得 at?1.88m/s2

1-14 一气球以匀速率v0从地面上升。由于风的影响，它获得了一个水平速度vx?by（b为常数，y为上升高度）。求：（1）写出气球的运动方程； （2）气球的水平偏离与高度的关系x(y)；（3）气球沿轨道运动的切向加速度和曲率如何随着上升高度y变化。

解：（1）已知vy?v0，显然有y?v0 t；

而 vbv20x?by?bv0 t，积分得x?2t2； 气球的运动学方程为 r?bv02t2i?v0tj； （2）轨道方程为 x?b2vy2； 0（3）气球的运动速率v?v2?v2222xy?b2v0t?v0，故 切向加速度为 advb2v0yt?dt?b2y2?v2

0

22（4）由于a?at2?an，所以an?a2?an?v2?，

1-18 当骑车人以速度18km/h自西向东行进时，看见雨滴垂直下落，当他把速度加快为36km/h时，看见雨滴在与它前进方向成120?下落，求雨滴对地面的速度。

解：同上，以地面为参考系。车相对于地面速度v1，自西向东；雨滴相对地面速度v2，骑车人看见雨滴速度v?2（相对速度）。

由左图：

v2sin??v1，得v2?得，曲率半径为 ??(by?v)2bv0222032

1-15 杂技表演中摩托车沿半径为50.0m的圆形路线行驶，摩托车运动方程为S?(10.0?10.0t?0.5t)m，在t?5.0s时，它的运动速率、切向加速度、法向加速度和总加速度是多少？

dS?10.0?1.0t，将t?5.0s代dt入，得速率为v=5m/s；

2v118?km/h=36km/h sin?sin?解：根据速率v??故可知 v2与v? 2数值相等，方向为竖直向下偏西30，

如右图所示。

1-19 当速率为30m/s的西风正吹时，相对于地面而言，向东、向西、向北传播的声音的速率各是多少？已知声音在空气中的传播速率为344m/s。 解：向东： （344 + 30）m/s = 374m/s

向西： （344 - 30）

m/s = 374m/s

向

北

：

dv，将t?5.0s代入，得切向加速度at??1m/s2；dtv22 = 1.1m/s2。 an??0.5m/s2；a?at2?anRat?1-16 一质点沿半径为0.10m的圆周运动，角位移用下式表示：??(2?t3)rad。求质点的切向加速度的大小正好等于总加速度大小的一半时，?的数值。

解：将??(2?t3)rad对t求导得速率，再求导得

2加速度，由于a?at2?an，当切向加速度的大小正好

v?3442?302?345m/s

1-20 一条东西方向的小河，河宽为100m，河水以3.0m/s的流速向正东方向流动。有一条船从南岸的码头出发向正北方向行驶， 船相对于水的速率为

等于总加速度大小的一半时，?的数值为3.15rad。

1-17 一电子在电场中运动，其运动方程为（1）计算电子的运动轨迹；x?3t，y?12?3t2（SI)。

（2）计算t?1s时电子的切向加速度、法向加速度及轨道上该点处的曲率半径；（3）在什么时刻电子的位矢与其速度矢量恰好垂直。

4.0m/s。求：（1）小船相对于地面的速度：（2）小船

到达对岸的何处？ 解：

（1）v?4.02?3.02?5.0m/s x解：（1）从参数方程消t得电子轨迹：y?12?；

33.053.1? tan???0.75，方向为东偏北

4.0（2）方法同前，得at?5.37m/s2；at?2.68m/s2；

??16.8m；

（3）位矢与其速度矢量恰好垂直时有r?v?0，结果为 t = 1.87s。

（2）

d3.0?， 1004.0解得d = 75m，即码头正对岸下游处75m处。

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