内容发布更新时间 : 2025/1/7 5:24:15星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

数列经典题目集锦一

一、构造法证明等差、等比 类型一：按已有目标构造

1、 数列{an}，{bn}，{cn}满足：bn＝an－2an＋1，cn＝an＋1＋2an＋2－2，n∈N*.

(1) 若数列{an}是等差数列，求证：数列{bn}是等差数列； (2) 若数列{bn}，{cn}都是等差数列，

求证：数列{an}从第二项起为等差数列；

(3) 若数列{bn}是等差数列，试判断当b1＋a3＝0时， 数列{an}是否成等差数列？证明你的结论．

类型二： 整体构造

2、设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，且(Sn＋1＋λ)an＝(Sn＋1)an＋1对一切n∈N*都成立．

(1) 若λ＝1，求数列{an}的通项公式； (2) 求λ的值，使数列{an}是等差数列．

二、两次作差法证明等差数列

3、设数列?an?的前n项和为?Sn?，已知a1?1,a2?6,a3?11， 且(5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn?An?B,n?N*，（其中A,B为常数）． (1)求A与B的值；(2)求数列?an?为通项公式；

三、数列的单调性

4.已知常数??0，设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn, 满足：a1?1，Sn?1?an?1Sn???3n?1an?1（n?N*）． an??（1）若??0，求数列?an?的通项公式；

1（2）若an?1?an对一切n?N*恒成立，求实数?的取值范围．

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5.设数列?an?是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，若a1a5?64，S5?S3?48. （1）求数列?an?的通项公式；

（2）对于正整数k,m,l（k?m?l），求证：“m?k?1且l?k?3”是“5ak,am,al这三项经适当排序后

能构成等差数列”成立的充要条件；

（3）设数列?bn?满足：对任意的正整数n，都有a1bn?a2bn?1?a3bn?2???anb1?3?2且集合M??n|n?1?4n?6，

???bn??,n?N*?中有且仅有3个元素，求?的取值范围. an?

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四、隔项（分段）数列问题

1??3an＋n（n为奇数），

6. 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝?

??an－3n（n为偶数）.(1) 是否存在实数λ，使数列{a2n－λ}是等比数列？若存在，

求出λ的值；若不存在，请说明理由；

(2) 若Sn是数列{an}的前n项的和，求满足Sn＞0的所有正整数n.

7.若?bn?满足：对于n?N?，都有bn?2?bn?d(d为常数)，则称数列?bn?是公差为d的“隔项等差”数列． （Ⅰ）若c1?3,c2?17，?cn?是公差为8的“隔项等差”数列，求?cn?的前15项之和； （Ⅱ）设数列?an?满足：a1?a，对于n?N?，都有an?an?1?2n． ①求证：数列?an?为“隔项等差”数列，并求其通项公式；

②设数列?an?的前n项和为Sn，试研究：是否存在实数a，使得S2k、S2k?1、S2k?2成等比数列（k?N）?若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

五、数阵问题

8.已知等差数列{an}、等比数列{bn}满足a1＋a2＝a3，b1b2＝b3，且a3，a2＋b1，a1＋b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．

(1) 求数列{an}和数列{bn}的通项公式；

(2) 按如下方法从数列{an}和数列{bn}中取项： 第1次从数列{an}中取a1， 第2次从数列{bn}中取b1，b2， 第3次从数列{an}中取a2，a3，a4， 第4次从数列{bn}中取b3，b4，b5，b6， ……

第2n－1次从数列{an}中继续依次取2n－1个项， 第2n次从数列{bn}中继续依次取2n个项， ……

由此构造数列{cn}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10， b11，b12，…，记数列{cn}的前n项和为Sn.求满足Sn<22 014的最大正整数n.

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