内容发布更新时间 : 2024/6/8 7:57:18星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1．向量在平面几何中的应用

(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：

问题类型 线平行、点共线等问题 垂直问题 所用知识 共线向量定理 公式表示 a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0 a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量 a·bcosθ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非|a||b|零向量 长度问题 数量积的定义 |a|＝a2＝x2＋y2， 其中a＝(x，y)，a为非零向量 (2)用向量方法解决平面几何问题的步骤： 平面几何问题――→向量问题――→解决向量问题――→解决几何问题． 2．平面向量在物理中的应用

(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．

(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ (θ为F与s的夹角)．

3．平面向量与其他数学知识的交汇

平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合．当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．

设向量

运算

还原

数量积的运算性质 夹角问题 数量积的定义 此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质． 【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) →→

(1)若AB∥AC，则A，B，C三点共线．( √ ) (2)向量b在向量a方向上的投影是向量．( × )

(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角，若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．( × ) →→(4)在△ABC中，若AB·BC<0，则△ABC为钝角三角形．( × )

→(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：OP＝→→→

OA＋t(AB＋AC)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.( √ )

1．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5，2)，C(－1，－4)，则这个三角形是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形 答案 B

→→

解析 ∵AB＝(2，－2)，CB＝(6,6)， →→∴AB·CB＝12－12＝0，

→→

∴AB⊥CB，∴△ABC为直角三角形．

→→→→

2．已知在△ABC中，|BC|＝10，AB·AC＝－16，D为边BC的中点，则|AD|等于( ) A．6B．5C．4D．3 答案 D

→→→→解析 在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝BC2，又AB·AC＝|AB|·|AC|cosA→→→＝－16，所以AB2＋AC2＋32＝100，AB2＋AC2＝68.又D为边BC的中点，所以AB＋AC＝2AD，→→

两边平方得4|AD|2＝68－32＝36，解得|AD|＝3，故选D.

→→→

3．设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－2OB，则△AOB与△AOC的面积之比为________． 答案 1∶2

解析 设D为AC的中点， 如图所示，连接OD， →→→则OA＋OC＝2OD.

B．直角三角形 D．等腰直角三角形

→→→又OA＋OC＝－2OB，

→→

所以OD＝－OB，即O为BD的中点，

从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为1∶2.

y→→0，?，4．平面上有三个点A(－2，y)，B?C(x，y)，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程为________． ?2?答案 y2＝8x(x≠0)

yy→→

2，－?，BC＝?x，?， 解析 由题意得AB＝?2???2?→→→→

又AB⊥BC，∴AB·BC＝0，

y?y?2，－?·x，＝0，化简得y2＝8x(x≠0)． 即?2??2??

5．已知一个物体在大小为6N的力F的作用下产生的位移s的大小为100m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________J. 答案 300

解析 W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉 ＝6×100×cos60°＝300(J)．

题型一 向量在平面几何中的应用

→例1 已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝→→→

OA＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( ) A．内心 C．重心 答案 C

→→→→→→→→

解析 由原等式，得OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝λ(AB＋AC)，根据平行四边形法则，知AB→→

＋AC是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心． 引申探究

→→?ABAC?→→

＋在本例中，若动点P满足OP＝OA＋λ?，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC→→??|AB||AC|?的________． 答案 内心

B．外心 D．垂心