内容发布更新时间 : 2024/6/3 20:31:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
五 解析几何(A)
1.(2018·黄陵高三期中)已知M为圆C:x+y-4x-14y+45=0上任意一点,点Q的坐标为(-2,3).
(1)若P(a,a+1)在圆C上,求线段PQ的长及直线PQ的斜率; (2)求|MQ|的最大值和最小值;
2
2
(3)设M(m,n),求
的最大值和最小值.
2.(2018·武侯区校级模拟)已知椭圆C的左右顶点分别为A,B,A点坐标为(-,0),P为椭圆
C上不同于A,B的任意一点,且满足kAP·kBP=-.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设F为椭圆C的右焦点,直线PF与椭圆C的另一交点为Q,PQ的中点为M,若|OM|=|QM|,求直线PF的斜率k.
3.(2013·广东卷)已知抛物线C顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离
为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程; (3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.
4.(2018·红桥区一模)已知椭圆C:两点,且|AB|=2. (1)求椭圆C的方程;
+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C与y轴交于A,B
(2)设点P是椭圆C上的一个动点,且点P在y轴的右侧.直线PA,PB与直线x=4分别交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于两点E,F,求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值.
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1.解:(1)由点P(a,a+1)在圆C上,可得a+(a+1)-4a-14(a+1)+45=0,所以a=4,即P(4,5).
所以|PQ|=
2
2
=2
2
,kPQ=
2
=.
(2)由x+y-4x-14y+45=0可得(x-2)+(y-7)=8, 所以圆心C的坐标为(2,7),半径r=2可得|QC|=
=4
, ,
.
因此|MQ|max=|QC|+r=4+2=6|MQ|min=|QC|-r=4-2=2.
(3)分析可知,表示直线MQ的斜率.
设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,则=k.
由直线MQ与圆C有交点,所以≤2,可得2-≤k≤2+,
所以的最大值为2+,最小值为2-),
.
2.解:(1)设P(x,y)(x≠±
所以kAP·kBP=-,所以·=-,
整理得+y=1(x≠±
2
),
但A,B两点在椭圆上,
所以椭圆C的方程为+y=1.
2
(2)由题可知,斜率一定存在且k≠0,
设过焦点F的直线方程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2), M(x0,y0),
联立则(m+2)y+2my-1=0,
22
所以所以
所以|OM|=,
而|QM|=|PQ|
=·
=·
=·,
因为|OM|=|QM|,
所以=·,
所以m=,所以k=2,所以k=±因此,直线PF的斜率为±
.
22
.
3.解:(1)因为抛物线C的焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,
所以=,
得c=1,
2
所以F(0,1),即抛物线C的方程为x=4y. (2)设切点A(x1,y1),B(x2,y2),
由x=4y得y′=x,
2
所以切线PA:y-y1=x1(x-x1),
有y=x1x-而=4y1,
+y1,
即切线PA:y=x1x-y1,
同理可得切线PB:y=x2x-y2. 因为两切线均过定点P(x0,y0),
所以y0=x1x0-y1,y0=x2x0-y2,
由此两式知点A,B均在直线y0=xx0-y上,
所以直线AB的方程为y0=xx0-y,
即y=x0x-y0.
(3)设点P的坐标为(x′,y′), 由x′-y′-2=0, 得x′=y′+2, 则|AF|·|BF|===
·
·
·
=(y1+1)·(y2+1) =y1y2+(y1+y2)+1.
由
222
得y+(2y′-x′)y+y′=0,
22
有y1+y2=x′-2y′,y1y2=y′,
22
所以|AF|·|BF|=y′+x′-2y′+1
=y′+(y′+2)-2y′+1
22
=2(y′+)+,
2
当y′=-,x′=时,
即P(,-)时,|AF|·|BF|取得最小值. 4.解:(1)由题意可得,2b=2,即b=1,
e==
2
,得=,
解得a=4,
椭圆C的标准方程为+y=1.
2
(2)法一 设P(x0,y0)(0 所以kPA=,直线PA的方程为y=x-1, 同理,直线PB的方程为y=x+1, 直线PA与直线x=4的交点为M(4,-1), 直线PB与直线x=4的交点为N(4,+1), 线段MN的中点为(4,), 所以圆的方程为(x-4)+(y- 2 )=(1- 2 ), 2 令y=0,则(x-4)+ 2 =(1-), 2 因为+=1,所以=-,