内容发布更新时间 : 2024/12/26 23:48:17星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

分式中的特殊运算

一、分式的混合运算

分式的混合运算关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。

归纳：

①运算过程中，要注意运算顺序，在没括号的情况下，按从左向右的方向，先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的要先算小括号，再算中括号，最后算大括号的顺序运算；

②分子或分母的系数是负数时，要把“-”转化为分式本身的符号；

③在解题过程中，要掌握“1”的使用技巧，“1”可以化成任意一个分子、分母相同的分式。

二、分式运算中常用的方法

分式运算是以分式的性质为基础，根据分式的结构特征，通过适当的变形、转化、运用适当方法就会使运算过程变得容易，起到事半功倍的效果。 1. 改变“运算符号”

对于两个分母互为相反数的分式相加减，只须把其中一个分式分母的运算符号提出来，变成同分母分式进行相加减即可。

如：

x1x1x?1?????1 x?11?xx?1x?1x?12. 拆分法

有些分式的分母具有一定的规律，我们可以把它拆分成两个分式相减的形式，用来简化运算。 如：

111 ??a(a?1)aa?13. 换元法

对于有些分式的分子和分母都含有多项式，并且这些多项式大多相同，这时我们可以把每一个多项式看成一个整体，用一个简单的字母来代替它进行运算，起到简化运算的效果，最后不要忘记再替换过来。 4. 因式分解法

对有些分式的分母是多项式时，直接运算会很繁琐，通常为了简化运算，我们可以把这些多项式进行因式分解，找出规律约分，起到简化运算的效果。

如：

1(a?b)2?1(a?b)=(2a?b1?111)(?) a?ba?ba?b总之，分式运算方法有多种，在分式的实际运算中，我们要认真观察，反复思考，不断地归纳，寻找规律，以便能准确迅速计算出结果。

ba?abab 例题1 计算?3322bababa?3?3(?)?2?232ababab2b2?a22?2解析：本题我们如果直接去计算，计算量是很大的。从题中我们可以看到分式的分子和分母中都含有

ba,，因此我们可以用换元法，用字母x，y来代替它们简化运算，大大的提高了运算速度，ab最后不要忘记再替换回来。

答案：解：设

2ba=x,=y，则xy＝1，于是 ab2原式=3x?y?2xy322x?y?3xy(x?y)?x?yx?y?2xy22?(x?y)x?y ?32(x?y)（x?y）2(x?y)x?y ???3(x?y)x?y(x?y)bab?a2222?b?aabb?a?2?2所以原式=ab=2ab2? 22bab?aabb?ab?a?abab

例题2 设a、b、c均为正整数，若

22(x?y)abc＜＜，则a、b、c的大小是 。 a?bb?ca?c解析：首先根据a、b、c均为正整数，确定a+b、b+c、a+c、a+b+c也为正整数，再通过

ca?b＜

abbabacc＜分为＜、＜、＜分别通分，因式分解，判b?ca?ca?ba?cb?ca?ca?bb?c答案：∵a、b、c均为正整数，∴a+b、b+c、a+c、a+b+c也为正整数， ∵

断出b＞c、b＞a、a＞c，综合得出b＞a＞c。

abc＜＜， a?bb?ca?cbc＜， a?ba?c2

2

∴①

2

?c+ac＜b+ab， ?b-c+ab-ac＞0，

2

?（b-c）（b+c）+a（b-c）＞0 ?（b-c）（a+b+c）＞0， ?b＞c， ②

ab＜， b?ca?c2

2

2

2

?ac+a＜b+bc， ?b-a+bc-ac＞0，

?（b+a）（b-a）+c（b-a）＞0， ?（b-a）（a+b+c）＞0， ?b＞a， ③

ac＜， a?bb?c2

2

2

2

?a+ab＞bc+c， ?a+ab-bc-c＞0，

?（a+c）（a-c）+b（a-c）＞0， ?（a-c）（a+b+c）＞0， ?a＞c， 综上，c＜a＜b。

点拨：我们运用因式分解法，把分式进行因式分解后可以进行约分，大大地简化了分式，提高了运算的速度。