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2019年高考数学讲练测【新课标版理】【讲】 第四章 三角函数与解三角形

第06节 正弦定理和 余弦定理

【课前小测摸底细】

1. 【教材改编】在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( ) 106

A．52 B．102 C. D．56

3【答案】C

【解析】由A＋B＋C＝180°，知C＝45°， 由正弦定理得：

c10c106＝， 即＝. ∴c＝. sin Asin C332

22

a（2019全国甲理13）若cosA?2. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

45，cosC?，513a?1，则b?

【答案】

21 13312ac20?，sinC?.由正弦定理可得c?.

513sinAsinC1321由射影定理可得b?acosC?ccosA?.

1320解法二：同解法一，可得c?.又cosB??cos?A?C??

131621sinAcosC?cosAcosC?.由余弦定理可得b?a2?c2?2accosB?.

651345312解法三：因为cosA?，cosC?，sinA?，sinC?，

51351363basinB?sin?A?C??sinAcosC+cosAsinC??.由正弦定理得，解得

65sinBsinA21b?．

13[解析] 解法一：由题可知sinA?3. 【2019甘肃兰州实战】在?ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，若

bsinA?3csinB， a?3，cosB?A．14 B．6 C．14 D．6 【答案】D.

2，则b?（ ） 3【解析】由题意得，bsinA?3csinB?ab?3bc?a?3c?c?1， ∴b2?a2?c2?2accosB?9?1?2?3?1?2?6?b?6，故选D． 34.【基础经典试题】设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若bcosC?ccosB?asinA，则ABC的形状为（ ）

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定

【答案】A

【解析】因为bcosC?ccosB?asinA，由正弦定理可得：sinBcosC?sinCcosB?sinAsinA，所以sin（B?C）?sinA，即sinA?sinA，A为三角形内角，所以sinA=1，A=角形是直角三角形．故选A．

5. 【高考题改编】在?ABC中，若b?2,A?120，三角形的面积S?3，则三角形外接圆的半径为

022?2，所以三

A.3 B.2 C.23 D.4

【答案】B

【考点深度剖析】

高考对正弦定理和余弦定理的考查，会以选择和填空的形式考查正弦定理和余弦定理在三角形中边和角的应用；也会以大题的形式考查与平面向量和三角恒等变换的结合，试题难度不大，主要考查灵活运用公式求解计算能力．

【经典例题精析】

考点1 正弦定理 【题组全面展示】

【1-1】?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．若a?13,b?3,A?60?，则边c?（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C

【解析】a2?c2?b2?2cbcosA?13?c2?9?2c?3?cos60?，即c2?3c?4?0，解得． c?4或c??1（舍去）【1-2】若满足 c?（ ）

A．(1,2) B．(1,3) C．(3,2) D．(2,2) 【答案】D

2，acosC?csinA的三角形ABC有两个，则边长BC的取值范围是

【1-3】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝2b，则C＝________. 【答案】15°

【解析】由a＋c＝2b及正弦定理可得sinA＋sinC＝2sinB.

又由于A－C＝90°，B＝180°－(A＋C)，故cosC＋sinC＝sinA＋sinC＝2sin(A＋C)＝2sin(90°＋2C)＝2sin2(45°＋C)．

∴2sin(45°＋C)＝22sin(45°＋C)cos(45°＋C)， 1

即cos(45°＋C)＝.

2又∵0°＜C＜90°，

∴45°＋C＝60°，C＝15°.故填15°.

【1-4】 (2014·江西)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则

2sinB－sinA的值为( ) 2sinA1A．－

9【答案】D

222

b?23?22sinB－sinA2sinB7??【解析】由正弦定理得＝22－1＝2??－1＝2×??－1＝.故选D.

sinAsinA2?a??2?

2

2

1

B. C．1 37D. 2

【课本回眸】

正弦定理：

＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形

sin Asin Bsin C＝abc