内容发布更新时间 : 2024/4/30 23:16:55星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
数列专题
1.（2009浙江文）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn?kn2?n，n?N，其中k是常数． （I） 求a1及an；
（II）若对于任意的m?N，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．
2.（2009北京文）设数列{an}的通项公式为an?pn?q(n?N?,P?0). 数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an?m成立的所有n中的最小值. （Ⅰ）若p?**11,q??，求b3； 23（Ⅱ）若p?2,q??1，求数列{bm}的前2m项和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm?3m?2(m?N?)？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.
3.(2009山东卷文)等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n?N ，点(n,S)n，均在函数y?bx?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上. （1）求r的值； （11）当b=2时，记 bn??n?1(n?N?) 求数列{bn}的前n项和Tn 4an4.（2009全国卷Ⅱ文）已知等差数列{an}中，a3a7??16,a4?a6?0求{an}前n项和
sn.
5.（2009安徽卷文）已知数列{
（Ⅰ）求数列{（Ⅱ）设
}与{
}的通项公式；
＜
n?1} 的前n项和，数列{}的前n项和
，证明：当且仅当n≥3时，
6. （2009天津卷文）已知等差数列{an}的公差d不为0，设Sn?a1?a2q???anq
Tn?a1?a2q???(?1)n?1anqn?1,q?0,n?N*
（Ⅰ）若q?1,a1?1,S3?15 ,求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若a1?d,且S1,S2,S3成等比数列，求q的值。 （Ⅲ）若q??1,证明（1?q）S2n2dq(1?q2n)* ?(1?q)T2n?,n?N21?q7. （2009辽宁卷文）等比数列{an}的前n 项和为sn，已知S1,S3,S2成等差数列 （1）求{an}的公比q；
（2）求a1－a3＝3，求sn
1’a2?2,an＋2＝8. （2009陕西卷文）已知数列?an}满足， a1＝an?an?1,n?N*. 2???令bn?an?1?an，证明：{bn}是等比数列；
(Ⅱ)求?an}的通项公式。
9.（2009湖北卷文）已知{an}是一个公差大于0的等差数列， 且满足a3a6＝55, a2+a7＝16. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式：
（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＝{bn}的前n项和Sn
10. （2009福建卷文）等比数列{an}中，已知a1?2,a4?16 （I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn。
11.（2009重庆卷文）（本小题满分12分） 已知a1?1,a2?4,an?2?4an?1?an,bn?（Ⅰ）求b1,b2,b3的值；
（Ⅱ）设cn?bnbn?1,Sn为数列?cn?的前n项和，求证：Sn?17n； （Ⅲ）求证：b2n?bn?
b1b2b3b?2?3?...n(n为正整数)，求数列2222nan?1,n?N?． an11?n?2． 6417
参考答案
1.（2009浙江文）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn?kn2?n，n?N，其中k是常数． （I） 求a1及an；
（II）若对于任意的m?N，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值． 解（Ⅰ）当n?1,a1?S1?k?1，
**n?2,an?Sn?Sn?1?kn2?n?[k(n?1)2?(n?1)]?2kn?k?1（?）
经验，n?1,（?）式成立， ?an?2kn?k?1 （Ⅱ）?am,a2m,a4m成等比数列，?a2m?am.a4m，
即(4km?k?1)2?(2km?k?1)(8km?k?1)，整理得：mk(k?1)?0， 对任意的m?N?成立， ?k?0或k?1
2.（2009北京文）设数列{an}的通项公式为an?pn?q(n?N?,P?0). 数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an?m成立的所有n中的最小值. （Ⅰ）若p?211,q??，求b3； 23（Ⅱ）若p?2,q??1，求数列{bm}的前2m项和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm?3m?2(m?N?)？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.
【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题. 解（Ⅰ）由题意，得an?∴
111120n?，解n??3，得n?. 2323311n??3成立的所有n中的最小整数为7，即b3?7. 23（Ⅱ）由题意，得an?2n?1， 对于正整数，由an?m，得n?根据bm的定义可知
**当m?2k?1时，bm?kk?N；当m?2k时，bm?k?1k?N.
m?1. 2????∴b1?b2???b2m??b1?b3???b2m?1???b2?b4???b2m?
??1?2?3???m????2?3?4????m?1???
m?m?1?m?m?3????m2?2m.
22（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn?q?m及p?0得n?m?q. p∵bm?3m?2(m?N?),根据bm的定义可知，对于任意的正整数m 都有
3m?1?m?q?3m?2，即?2p?q??3p?1?m??p?q对任意的正整数m都成立. pp?q2p?q（或m??）， 3p?13p?1 当3p?1?0（或3p?1?0）时，得m?? 这与上述结论矛盾！ 当3p?1?0，即p?
12121时，得??q?0???q，解得??q??. 33333∴ 存在p和q，使得bm?3m?2(m?N?)；
p和q的取值范围分别是p?
121，??q??.. 333?3.(2009山东卷文)等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n?N ，点(n,S)n，均在函数y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上. （1）求r的值； （11）当b=2时，记 bn??xn?1(n?N?) 求数列{bn}的前n项和Tn 4anx解:因为对任意的n?N,点(n,Sn)，均在函数y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上.所以得Sn?bn?r,
当n?1时,a1?S1?b?r, 当n?2时,an?Sn?Sn?1?b?r?(bnn?1?r)?bn?bn?1?(b?1)bn?1,
n?1又因为{an}为等比数列, 所以r??1, 公比为b, 所以an?(b?1)b
（2）当b=2时，an?(b?1)b
n?1?2n?1, bn?n?1n?1n?1?? 4an4?2n?12n?1
234n?1????? 2223242n?11234nn?1Tn??????? 345n?1n?2222222121111n?1相减,得Tn?2?3?4?5???n?1?n?2
222222211?(1?)n?11n?1123n?132??n?2??n?1?n?2
1422221?231n?13n?3所以Tn??n?n?1??n?1
22222则Tn?4.（2009全国卷Ⅱ文）已知等差数列{an}中，a3a7??16,a4?a6?0求{an}前n项和
sn.
解：设?an?的公差为d，则
???a1?2d??a1?6d???16 ?a?3d?a?5d?0??11?a12?8da1?12d2??16即? ?a1??4d?a1??8,?a1?8解得? 或?d?2,d??2??因此Sn??8n?n?n?1??n?n?9?，或Sn?8n?n?n?1???n?n?9? 5.（2009安徽卷文）已知数列{
（Ⅰ）求数列{（Ⅱ）设
}与{
}的通项公式；
＜
} 的前n项和
，数列{
}的前n项和
，证明：当且仅当n≥3时，
【解析】(1)由于a1?s1?4
当n?2时, an?sn?sn?1?(2n?2n)?[2(n?1)?2(n?1)]?4n?am?4n(n?N) 又当x?n时bn?Tn?Tn?1?(2?6m)?(2?bm?1)?2bn?bn?1
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