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2019年高考数学六大题解满分解题技巧秘籍 专题10 解析几何热点问题（专项训练）
1
1.已知椭圆P的中心O在坐标原点、焦点在x轴上，且经过点A(0，23)，离心率为.
2(1)求椭圆P的方程；
→→16
(2)是否存在过点E(0，－4)的直线l交椭圆P于点R，T，且满足OR·OT＝？若存在，求直线l的方程；若
7不存在，请说明理由.
x2y2
解 (1)设椭圆P的方程为2＋2＝1(a>b>0)，
abc1
由题意得b＝23，e＝＝，
a2∴a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2， ∴c＝2，a＝4，
x2y2
∴椭圆P的方程为＋＝1.
1612
→→
(2)假设存在满足题意的直线l，易知当直线l的斜率不存在时，OR·OT<0，不满足题意. 故可设直线l的方程为y＝kx－4，R(x1，y1)，T(x2，y2). 16→→16
∵OR·OT＝，∴x1x2＋y1y2＝.
77
y＝kx－4，??22
由?x得(3＋4k2)x2－32kx＋16＝0， y??16＋12＝11由Δ>0得(－32k)2－64(3＋4k2)>0，解得k2>.①
432k16
∴x1＋x2＝， 2，x1x2＝3＋4k3＋4k2∴y1y2＝(kx1－4)(kx2－4)＝k2x1x2－4k(x1＋x2)＋16， 1616k2128k216故x1x2＋y1y2＝， 2＋2－2＋16＝73＋4k3＋4k3＋4k解得k2＝1.② 由①②解得k＝±1， ∴直线l的方程为y＝±x－4.
故存在直线l：x＋y＋4＝0或x－y－4＝0满足题意.
1
2.(2019·郑州质检)已知圆O：x2＋y2＝4，点F(1，0)，P为平面内一动点，以线段FP为直径的圆内切于圆O，设动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程；
1
0，?.问：在y轴上是否存在定点Q，使得∠MQO＝(2)M，N是曲线C上的动点，且直线MN经过定点??2?∠NQO？若存在，请求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)设PF的中点为S，切点为T，连接OS，ST，则|OS|＋|SF|＝|OT|＝2. 取F′(－1，0)，连接F′P， 则|F′P|＋|FP|＝2(|OS|＋|SF|)＝4.
所以点P的轨迹是以F′，F为焦点、长轴长为4的椭圆，其中，a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3. x2y2
所以曲线C的方程为＋＝1.
43
1
(2)假设存在满足题意的定点Q.设Q(0，m)，当直线的斜率存在时直线MN的方程为y＝kx＋，M(x1，y1)，
2N(x2，y2).
x2y2
＋＝1，43
联立得方程组
1
y＝kx＋.
2
???
消去y并整理，得(3＋4k2)x2＋4kx－11＝0. －4k－11
由题意知Δ>0，∴x1＋x2＝. 2，x1x2＝3＋4k3＋4k2由∠MQO＝∠NQO，得直线MQ与直线NQ的斜率之和为0， 11
kx1＋－mkx2＋－m
22y1－my2－m
∴＋＝＋ x1x2x1x21?2kx1x2＋??2－m?（x1＋x2）＝＝0，
x1x21?∴2kx1x2＋??2－m?(x1＋x2)
－11?1－4k4k（m－6）?－m＝2k·＋·?3＋4k2＝3＋4k2＝0， 3＋4k2?2
当k≠0时，m＝6，所以存在定点(0，6)，使得∠MQO＝∠NQO；当k＝0时，定点(0，6)也符合题意. 易知直线MN的斜率不存在时，定点Q(0，6)也符合题意. ∴存在符合题意的定点Q，且定点Q的坐标为(0，6).
2
综上，存在定点(0，6)使得∠MQO＝∠NQO.
x2y22
3.已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点A?1，?在椭圆C上.
ab2??(1)求椭圆C的标准方程；
5
(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点3→→
P，在椭圆C上找到一点Q，满足PM＝NQ？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 解 (1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1， 因为A?1，
?
2?在椭圆C上， 2?所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝22， 则a＝2，b2＝a2－c2＝1. x22
故椭圆C的方程为＋y＝1.
2
(2)椭圆C上不存在这样的点Q，理由如下：
5
x3，?，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)， 设直线的方程为y＝2x＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P?3??y＝2x＋t，??2
由?x消去x得9y2－2ty＋t2－8＝0， 2
??2＋y＝1，2t
所以y1＋y2＝，且Δ＝4t2－36(t2－8)>0，
9y1＋y2t
故y0＝＝，且－3 29 5→→ x1－x3，y1－?＝(x4－x2，y4－y2)， 由PM＝NQ得?3??5525 所以有y1－＝y4－y2，y4＝y1＋y2－＝t－. 33937 又－3 3 与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1，1]矛盾. 因此椭圆C上不存在这样的点Q. 4.(2019·青岛质检)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2，以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E，恰好经过点?1， ? 2? . 2? (1)求椭圆E的标准方程； (2)设经过点(－2，0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN的面积的最大值. 3