内容发布更新时间 : 2024/5/20 18:59:00星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第76炼 存在

性问题

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圆锥曲线中的存在性问题

一、基础知识

1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在

2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标?x0,y0?

（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：

（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。

（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法：

①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解

②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题：

x2y23例1：已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的离心率为，过右焦点F的直线l与

3abC相交于A,B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为

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（1）求a,b的值

（2）C上是否存在点P，使得当l绕F旋转到某一位置时，有OP?OA?OB成立？若存在，求出所有的P的坐标和l的方程，若不存在，说明理由 解：（1）e?ca?33?a:b:c?3:2:1 则a?3c,b?2c，依题意可得：F?c,0?，当l的斜率为1时

l:y?x?c?x?y?c?0

?dcO?l?2?22 解得：c?1 ?a?3,b?2 椭圆方程为：x2y23?2?1

（2）设P?x0,y0?，A?x1,y1?,B?x2,y2? 当l斜率存在时，设l:y?k?x?1?

OP?OA?OB ???x0?x1?x2?y

0?y1?y2联立直线与椭圆方程：???y?k?x?1??2x?3y?6消去y可得：2x2?3k22?22 ?x?1??6，整理可得：

?3k2?2?x2?6k2x?3k2?6?0

?x6k26k34k1?x2?3k2?2 y1?y2?k?x1?x2??2k?3k2?2?2k??3k2?2

?P??6k24k??3k2?2,?3k2?2?? 因为P在椭圆上

22?2???6k2??4k??3k2?2???3???3k2?2???6 ?72k4?48k2?6?3k2?2?2?24k2?3k2?2??6?3k2?2?2

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?24k2?6?3k2?2??k??2 ?32?当k?2时，l:y?2?x?1?，P?,??

2??2?32?当k??2时，l:y??2?x?1?，P?,?

22???23??23?当斜率不存在时，可知l:x?1 ，A?1,,B1,????，则P?2,0?不在椭圆上

3??3???3?32?2??综上所述：l:y?2?x?1?，P?,??或l:y??2?x?1?，P?,?

2222????x2y2例2：过椭圆?:2?2?1?a?b?0?的右焦点F2的直线交椭圆于A,B两点，F1ab为其左焦点，已知AF1B的周长为8，椭圆的离心率为（1）求椭圆?的方程

3 2（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆?恒有两个交点P,Q，且OP?OQ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由 解：（1）由AF1B的周长可得：4a?8?a?2

?e?c3??c?3 ?b2?a2?c2?1 a2x2椭圆?:?y2?1

4（2）假设满足条件的圆为x2?y2?r2，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内

?0?r?1

若直线PQ斜率存在，设PQ:y?kx?m，P?x1,y1?,Q?x2,y2?

PQ与圆相切 ?dO?l?mk2?1?r?m2?r2?k2?1?

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OP?OQ?OP?OQ?0 即x1x2?y1y2?0

?y?kx?m222联立方程：?2?1?4kx?8kmx?4m?4?0 ??2?x?4y?48km4m2?4?x1?x2??2,x1x2? 24k?14k?1?y1y2??kx1?m??kx2?m??k2x1x2?km?x1?x2??m2 ?x1x2?y1y2??k2?1?x1x2?km?x1?x2??m2

4m2?4?8km?22?k?1?km? ?????2??m 24k?1?4k?1?5m2?4k2?4 ?

4k2?1?5m2?4k2?4?0对任意的m,k均成立

将m2?r2?k2?1?代入可得：5r2?k2?1??4?k2?1??0

??5r2?4??k2?1??0 ?r2?4 5?存在符合条件的圆，其方程为：x2?y2?4 52当PQ斜率不存在时，可知切线PQ为x??5 5若PQ:x??2525??2525?2,,Q?,? 5，则P???????5??55?5?5?OP?OQ?0 ?PQ:x?25符合题意 525，同理可得也符合条件 54综上所述，圆的方程为：x2?y2?

5若PQ:x??x2y21例3：已知椭圆2?2?1?a?b?0?经过点0,3，离心率为，左，右焦点分别为

ab2??F1??c,0?和F2?c,0?

（1）求椭圆C的方程

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