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2019-2020年中考数学总复习 题型专项（八）二次函数与几何图形综合题 类型3 探
究特殊四边形的存在性问题试题
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1．(2014·桂林)如图，已知抛物线y＝ax＋bx＋4与x轴交于A(－2，0)，B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝1.
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(1)直接写出抛物线的解析式y＝－x＋x＋4；
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(2)把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A，C的对应点分别为A′，C′，当C`落在抛物线上时，求A′，C′的坐标；
(3)除(2)中的点A′，C′外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E，F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出E，F的坐标；若不存在，请说明理由．
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解：(2)由抛物线y＝－x＋x＋4可知C(0，4)．
2∵抛物线的对称轴为直线x＝1，根据对称性， ∴C′(2，4)，∴A′(0，0)．
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(3)存在．设F(x，－x＋x＋4)．以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形．
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图1
①若AC为平行四边形的边，如图1所示，则EF∥AC且EF＝AC. 过点F1作F1D⊥x轴于点D，则易证Rt△AOC≌Rt△E1DF1， ∴DE1＝2，DF1＝4. 12
∴－x＋x＋4＝－4，
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解得x1＝1＋17，x2＝1－17.
∴F1(1＋17，－4)，F2(1－17，－4)． ∴E1(3＋17，0)，E2(3－17，0)．
图2
②若AC为平行四边形的对角线，如图2所示． ∵点E3在x轴上， ∴CF3∥x轴．
∴点F3为点C关于x＝1的对称点， ∴F3(2，4)，CF3＝2.
∴AE3＝2.∴E3(－4，0)．
综上所述，存在点E，F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形；点E，F的坐标为：E1(3＋17，0)，F1(1＋17，－4)；E2(3－17，0)，F2(1－17，－4)；E3(－4，0)，F3(2，4)． (注：因点F3与点C′重合，故此处不确定E3，F3是否满足题意)
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2．(2015·百色)抛物线y＝x＋bx＋c经过A(0，2)，B(3，2)两点，若两动点D，E同时从原点O分别沿着x轴，y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度．
(1)求抛物线与x轴的交点坐标；
(2)若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A，B，C，D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；
(3)问几秒钟时，B，D，E在同一条直线上？ 解：(1)依题意有
???c＝2，?b＝－3，? ∴? ?9＋3b＋c＝2.???c＝2.
∴y＝x－3x＋2.
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当y＝0时，x－3x＋2＝0.解得x1＝1，x2＝2. ∴抛物线与x轴交点坐标为(1，0)，(2，0)． (2)存在．
当点C为(1，0)时， ∵AB＝3，AB∥x轴．
∴平行四边形中，AB＝CD＝4－1＝3. ∴D点为(4，0)．
当C(2，0)时，同理可求D(5，0)．
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(3)设t秒时，B，D，E共线，则D，E点的坐标分别为(2t，0)，(0，t)．设经过点B，D，E的直线为y＝kx＋m(k≠0)．
m＝t，??t＝m，??
∴?∴?1或t＝0. ?0＝2tk＋m.k＝－，??2?1
∵y＝－x＋t经过B(3，2)．
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∴2＝－×3＋t.
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∴t＝3.5.
∴t＝0或t＝3.5秒时，B，D，E共线．
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3．(2016·贵港模拟)如图，直线y＝－3x＋3与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝a(x－2)＋k经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P.
(1)求a，k的值；
(2)抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；
(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M，N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 解：(1)∵直线y＝－3x＋3与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴A(1，0)，B(0，3)．
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又∵抛物线y＝a(x－2)＋k经过点A(1，0)，B(0，3)，
???a＋k＝0，?a＝1，?∴解得? ?4a＋k＝3，?k＝－1.??
故a，k的值分别为1，－1.
图1 图2
(2)设Q点的坐标为(2，m)，对称轴x＝2交x轴于点F，如图1，过点B作BE垂直于直线x＝2于点E.
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在Rt△AQF中，AQ＝AF＋QF＝1＋m，
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在Rt△BQE中，BQ＝BE＋EQ＝4＋(3－m).
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∵AQ＝BQ，∴1＋m＝4＋(3－m). ∴m＝2.∴Q点的坐标为(2，2)．
(3)如图2，当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，∴AC应为正方形的对角线． 又∵对称轴x＝2是AC的中垂线，
∴M点与顶点P(2，－1)重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为(2，1)． 此时，MF＝NF＝AF＝CF＝1，且AC⊥MN， ∴四边形AMCN为正方形．
在Rt△AFN中，AN＝AF＋NF＝2，即正方形的边长为2.
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4．(2016·泰安)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax＋bx＋c的顶点坐标为(2，9)，与y轴交于点A(0，5)，与x轴交于点E，B.
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(1)求二次函数y＝ax＋bx＋c的表达式；
(2)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点(点P在AC上方)，作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标．
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解：(1)设抛物线解析式为y＝a(x－2)＋9，
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