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*10.3 复数的三角形式及其运算

第一课时 复数的三角形式

课标要求 素养要求 1.了解复数的三角形式，了解复数的代数形式及三角形式之间的关系. 通过复数的几何意义，了解复数的三角形式，培养学生的逻辑推理素养，提升数学抽象素养；通过复数的代数形式与三角形式的互化，提升学生的数学运算素养. 2.会进行复数的代数形式与三角形式的转化，了解辐角.

教材知识探究

通过前面的学习，我们已经知道在复平面内，复数z有两种表示：一是代数表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)；二是几何表示，复数z既可用点Z(a，b)表示，也可用→

向量OZ表示，但代数形式在解决复数乘、除、乘方等问题中还是较为繁琐. 问题 能否找到复数z的另一种表示，彻底解决复数的乘、除、乘方、开方等问题？

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千里之行 始于足下

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提示 复数的三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)(r≥0)是解决问题的桥梁.

1.复数的三角形式.

复数三角形式的结构特征是：模非负、角相同、余弦前、加号连，否则不是三角形式

一般地，如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为→的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝|z|向量OZ＝a2＋b2，a＝rcos θ，b＝rsin θ，从而z＝a＋bi＝r(cos__θ＋isin__θ)，上

式的右边称为非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的辐角.

2.辐角与辐角主值

(1)任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角都相差2π的整数倍，即辐角为θ＋2kπ(k∈Z).

(2)在[0，2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作arg__z.

教材拓展补遗

[微判断]

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千里之行 始于足下

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1.z＝

?ππ???2?cos－isin ?是复数z＝1－i的三角形式.(×)

44??

提示 不符合复数三角形式的结构特征.

2.复数0没有三角形式.(×)

提示 任意复数都有三角形式，复数0的三角形式可写成0(cos θ＋isin θ)，其中θ可以为任意值.

??π??π??π??????

3.复数z＝2?cos?－?＋isin?－??的辐角主值为－.(×)

6??6??6??π

提示 辐角主值在[0，2π)内，－只是一个辐角.

6

[微训练]

1.说出下列复数的辐角主值.

(1)2i；(2)－5；(3)－3i.

解 (1)arg(2i)＝.(2)arg(－5)＝π.(3)arg(－3i)＝π.

22

π3

2.将复数的代数形式化为三角形式.

(1)z1＝3＋i；(2)z2＝－1－i.

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