内容发布更新时间 : 2024/12/23 21:27:47星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

常数项级数

内容要点

一，概念与性质

(一)概念 由数列u1,u2,?,un,?构成的式子

?un?1?n?u1?u2???un??

n称为无穷级数，简称为级数.un称为级数的一般项，sn???ui?1i称为级数的部分和.

如果limsn?s,则称级数

n???un?1n收敛，s称为该级数的和.此时记

?un?1?n?s.否则称级数

发散.

（二）性质 1, 若

?un?1??n收敛，则

?kun?1?n?k?un.

n?1?2, 若

?u,?vnn?1n?1?n收敛，则

??un?1?n?vn???un??vn.

n?1n?1??3, 级数增减或改变有限项，不改变其敛散性.

4, 若级数收敛，则任意加括号后所成的级数仍收敛. 5(收敛的必要条件), 若

?un?1?n收敛，则limun?0.

n??? 注意：若limun?0.则

n???un?1?n必发散.而若

?un?1n发散,则不一定limun?0.

n?? (三) 两个常用级数 1, 等比级数

?a,? ?aqn??1?qn?0?,??q?1q?1

2, p?级数

1?, ?p??n?1n?,?p?1p?1

二，正项级数敛散性判别法

(一) 比较判别法

1

设

?u,?vnn?1n?1??n均为正项级数，且un?vn(n?1,2,?),则

??

?vn?1?n收敛??un?1?n收敛；

?un?1n发散??vn?1n发散

(二) 极限判别法

如果limnun?l(0?l???),则

n???un?1?n发散；

如果对p?1,limnun?l(0?l???),则

n??p?un?1?n则收敛.

(三) 比值判别法 设

?un?1?n为正项级数，若

??1?cun?1??????1?b limn??un??1?f?二，交错级数收敛性判别法 莱布尼兹判别法：设

n?1???1un(un?n?1??0)为交错级数，如果满足：

1, un?un?1(n?1,2,?) 2, limun?0

n??则此交错级数收敛.

三，任意项级数与绝对收敛 （一） 绝对收敛 如果

?un?1??n收敛，则称

?un?1n?n绝对收敛.

（二） 条件收敛 如果

?un?1n收敛，但

?un?1?发散,则称

?un?1?n条件收敛.

（三） 定理 若级数绝对收敛，则该级数必收敛.

函数项级数

一、 主要内容 1、基本概念

函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数

2

幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域 2、一致收敛性 A、 函数列

{fn(x)}

一致收敛性的判断：

（1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性

（2）Cauchy收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断 （3）确界（最大值方法）：（4）估计方法：

||fn(x)?f(x)||?0

|fn(x)?f(x)|?an?0（5）Dini-定理：条件1）闭区间[a,b]；2）连续性；3）关于n的单调性

注、除Cauchy收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。

注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断。

注、Dini定理中，要验证的关键条件是关于n的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定

{f(x)}的x?[a,b]，n作为数列关于n是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的

有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N，当n>N时”条件成立即可，但是，要注意N必须是与x无关的，即当n>N时，对所有任意固定的x?[a,b]，因此，此时的单调性也称为对n的单调性关于x一致成立。 非一致收敛性的判断 （1）定义

（2）Cauchy收敛准则 （3）确界法：存在

{fn(x)}关于n单调，

xn，使得

||fn(xn)?f(xn)||不收敛于0

（4）和函数连续性定理 （5）端点发散性判别法：

{fn(x)}在c点左连续，

{fn(c)}发散，则

{fn(x)}在

(c??,c)内非一致收敛

注、在判断非一致收敛性时，按照使用时的难易程度，可以按如下顺序使用相应的方法进行判断：端点发散性判别法、和函数连续性定理、确界方法、定义法、Cauchy收敛准则。 B、函数项级数

?u(x)

n一致收敛性的判断 （1）定义

（2）Cauchy收敛准则

（3）转化为函数列（部分和）

3

（4）余项方法：

{rn(x)}一致收敛于0

（5）几个判别法：W-法，Abel法，Dirichlet法，Dini-法

经典例题

例1判断级数(1)

??nn?1?1n；(2)

?n?1?1nn的敛散性.

解：(1)

?nn?11n=

?n?1?1n32(p?3?1) 收敛 21n?1?0,故?nn?1?(2) 由于limn?n??n?1?limun?limn???1nn??n发散.

?3n1例2 判别级数.(1)?；(2)?；(3) n(n?1)(n?3)n2n?1n?2n?1的敛散性. ?n(n?2)n?1??1111??解：(1) 由于(,而收敛 n?2,3?)??22(n?1)(n?3)(n?3)2(n?3)nn?2n?5? 故由比较判别法可知级数

?(n?1)(n?3)收敛.

n?21?3n11?(2) 由于(,而发散，由比较判别法可知 n?1,2,?)?nnn2n?1n3n级数?发散. nn2n?1???n?1n?1111????发散，由比较判别法可知 (3) 由于,而?n(n?2)(n?1)(n?2)n?2n?1n?2n?3n级数

n?1发散. ?n(n?2)n?1??1例3 判别下列级数的敛散性：(1) ?；(2)

n?1(n?1)!解：用比值判别法

nn ?n?1n!?(1) limun?1n??un1?11n!收敛； ?lim?lim?0?1,故?n??n??n1(n?1)!n?1(n?1)!4

(2) limun?1n??un(n?1)n?1n?nn(n?1)!?1??lim?lim?1???e?1,故?发散. n??n??nnn?1n!?n?n!例4 判别级数(1)

?nn?1?1nn；（2）

1??的敛散性. ln1???2?n??n?1?解：(1) 由于limnun?limnn??n??1nn?n?lim1n1nn??n?1?0,

故由极限判别法可知级数

?nn?1n发散.

n2(2) 由于limnun?limnln?1?n??n???22??1?1???limln1???22?n??n??n??lne?1

故由极限判别法可知级数

例5 问级数

1??ln1?收敛. ??2?n??n?1?(?1)nn?1?c?n是收敛还是发散？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 2n?nn?c1解：由茉布尼兹判别法可知???1?2与???1?均收敛，从而原级数收敛.

nnn?1n?1?c?nc?nn11???另一方面，??1?，而发散，故由比较判别法可知 ?222nnnnn?1nnnc?n???1?2n?1?n发散，从而原级数是条件收敛.

练习题

1, 用比较判别法判别下列级数的敛散性.

1(1) ? (2)

n?1n(n?1)?lnn2 (3) ?nn?12?sin2(2n?1) (4) ?2nn?1??2?nn?1?1?n2

2, 用比值判别法判别下列级数的敛散性.

5n(1) ? (2)

n!n?1?1?3???(2n?1) (3) ?2?5???(3n?1)n?1?n2 ?n3n?1?3, 用极限判别法判别下列级数的敛散性.

5