内容发布更新时间 : 2024/6/26 15:49:24星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
数列经典题目集锦一
一、构造法证明等差、等比 类型一：按已有目标构造
1、 数列{an}，{bn}，{cn}满足：bn＝an－2an＋1，cn＝an＋1＋2an＋2－2，n∈N*.
(1) 若数列{an}是等差数列，求证：数列{bn}是等差数列； (2) 若数列{bn}，{cn}都是等差数列，
求证：数列{an}从第二项起为等差数列；
(3) 若数列{bn}是等差数列，试判断当b1＋a3＝0时， 数列{an}是否成等差数列？证明你的结论．
类型二： 整体构造
2、设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，且(Sn＋1＋λ)an＝(Sn＋1)an＋1对一切n∈N*都成立．
(1) 若λ＝1，求数列{an}的通项公式； (2) 求λ的值，使数列{an}是等差数列．
二、两次作差法证明等差数列
3、设数列?an?的前n项和为?Sn?，已知a1?1,a2?6,a3?11，
*且(5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn?An?B,n?N，（其中A,B为常数）．
(1)求A与B的值；(2)求数列?an?为通项公式；
三、数列的单调性
4.已知常数??0，设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn, 满足：a1?1，Sn?1?an?1Sn???3n?1an?1（n?N*）． an??（1）若??0，求数列?an?的通项公式；
1（2）若an?1?an对一切n?N*恒成立，求实数?的取值范围．
2
5.设数列?an?是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，若a1a5?64，S5?S3?48. （1）求数列?an?的通项公式；
（2）对于正整数k,m,l（k?m?l），求证：“m?k?1且l?k?3”是“5ak,am,al这三项经适当排序后
能构成等差数列”成立的充要条件；
（3）设数列?bn?满足：对任意的正整数n，都有a1bn?a2bn?1?a3bn?2?且集合M??n|?anb1?3?2n?1?4n?6，
???bn??,n?N*?中有且仅有3个元素，求?的取值范围. an?
四、隔项（分段）数列问题
1??3an＋n（n为奇数），
6. 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝?
??an－3n（n为偶数）.(1) 是否存在实数λ，使数列{a2n－λ}是等比数列？若存在，
求出λ的值；若不存在，请说明理由；
(2) 若Sn是数列{an}的前n项的和，求满足Sn＞0的所有正整数n.
7.若?bn?满足：对于n?N?，都有bn?2?bn?d(d为常数)，则称数列?bn?是公差为d的“隔项等差”数列． （Ⅰ）若c1?3,c2?17，?cn?是公差为8的“隔项等差”数列，求?cn?的前15项之和； （Ⅱ）设数列?an?满足：a1?a，对于n?N?，都有an?an?1?2n． ①求证：数列?an?为“隔项等差”数列，并求其通项公式；
②设数列?an?的前n项和为Sn，试研究：是否存在实数a，使得S2k、S2k?1、S2k?2成等比数列（k?N*）?若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
五、数阵问题
8.已知等差数列{an}、等比数列{bn}满足a1＋a2＝a3，b1b2＝b3，且a3，a2＋b1，a1＋b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．
(1) 求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
(2) 按如下方法从数列{an}和数列{bn}中取项： 第1次从数列{an}中取a1， 第2次从数列{bn}中取b1，b2， 第3次从数列{an}中取a2，a3，a4， 第4次从数列{bn}中取b3，b4，b5，b6， ……
第2n－1次从数列{an}中继续依次取2n－1个项， 第2n次从数列{bn}中继续依次取2n个项， ……
由此构造数列{cn}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10， b11，b12，…，记数列{cn}的前n项和为Sn.求满足Sn<22 014的最大正整数n.
数列经典题目集锦答案
1.证明：(1) 设数列{an}的公差为d，∵ bn＝an－2an＋1，
∴ bn＋1－bn＝(an＋1－2an＋2)－(an－2an＋1)＝(an＋1－an)－2(an＋2－an＋1)＝d－2d＝－d， ∴ 数列{bn}是公差为－d的等差数列． (4分) (2) 当n≥2时，cn－1＝an＋2an＋1－2，
bn＋cn－1bn＋1＋cn
∵ bn＝an－2an＋1，∴ an＝＋1，∴ an＋1＝＋1，
22bn＋1＋cnbn＋cn－1bn＋1－bncn－cn－1
∴ an＋1－an＝－＝＋.
2222∵ 数列{bn}，{cn}都是等差数列，∴
bn＋1－bncn－cn－1
＋为常数， 22
∴ 数列{an}从第二项起为等差数列． (10分)
(3) 结论：数列{an}成等差数列．证明如下： (证法1)设数列{bn}的公差为d′， ∵ bn＝an－2an＋1，
＋－－
∴ 2nbn＝2nan－2n1an＋1，∴ 2n1bn－1＝2n1an－1－2nan，…，2b1＝2a1－22a2，
－＋
∴ 2nbn＋2n1bn－1＋…＋2b1＝2a1－2n1an＋1，
－
设Tn＝2b1＋22b2＋…＋2n1bn－1＋2nbn，
＋
∴ 2Tn＝22b1＋…＋2nbn－1＋2n1bn，
－＋
两式相减得：－Tn＝2b1＋(22＋…＋2n1＋2n)d′－2n1bn，
－＋
即Tn＝－2b1－4(2n1－1)d′＋2n1bn， －＋＋
∴ －2b1－4(2n1－1)d′＋2n1bn＝2a1－2n1an＋1，
＋－＋＋
∴ 2n1an＋1＝2a1＋2b1＋4(2n1－1)d′－2n1bn＝2a1＋2b1－4d′－2n1(bn－d′)， 2a1＋2b1－4d′
∴ an＋1＝－(bn－d′)． (12分) ＋2n12a1＋2b1－4d′2a1＋2b1－4d′
令n＝2，得a3＝－(b2－d′)＝－b1， 3223∵ b1＋a3＝0，∴
2a1＋2b1－4d′
＝b1＋a3＝0，∴ 2a1＋2b1－4d′＝0，
23∴ an＋1＝－(bn－d′)，∴ an＋2－an＋1＝－(bn＋1－d′)＋(bn－d′)＝－d′，
∴ 数列{an}(n≥2)是公差为－d′的等差数列． (14分) ∵ bn＝an－2an＋1，令n＝1，a1－2a2＝－a3，即a1－2a2＋a3＝0，
∴ 数列{an}是公差为－d′的等差数列． (16分)
(证法2)∵ bn＝an－2an＋1，b1＋a3＝0，
令n＝1，a1－2a2＝－a3，即a1－2a2＋a3＝0，(12分) ∴ bn＋1＝an＋1－2an＋2，bn＋2＝an＋2－2an＋3，
∴ 2bn＋1－bn－bn＋2＝(2an＋1－an－an＋2)－2(2an＋2－an＋1－an＋3)． ∵ 数列{bn}是等差数列，∴ 2bn＋1－bn－bn＋2＝0， ∴ 2an＋1－an－an＋2＝2(2an＋2－an＋1－an＋3)．(14分) ∵ a1－2a2＋a3＝0，∴ 2an＋1－an－an＋2＝0， ∴ 数列{an}是等差数列．(16分)
2.解析：(1) 若λ＝1，则(Sn＋1＋1)an＝(Sn＋1)an＋1，a1＝S1＝1.