内容发布更新时间 : 2025/1/1 9:54:50星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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第3讲 圆锥曲线的综合问题
[考情考向分析] 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大．
热点一 范围、最值问题
圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．
例1 (2018·百校联盟联考)已知N为圆C1：(x＋2)＋y＝24上一动点，圆心C1关于y轴的→—→—→—→对称点为C2，点M，P分别是线段C1N，C2N上的点，且MP·C2N＝0，C2N＝2C2P. (1)求点M的轨迹方程；
1
(2)直线l与曲线Γ交于A，B两点，AB的中点在直线y＝上，求△OAB(O为坐标原点)面积
2的取值范围．
—→—→
解 连接MC2，因为C2N＝2C2P，所以P为C2N的中点，
2
2
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推荐学习K12资料 →—→
因为MP·C2N＝0， →—→所以MP⊥C2N，
所以点M在C2N的垂直平分线上， 所以|MN|＝|MC2|，
因为|MN|＋|MC1|＝|MC2|＋|MC1|＝26>4， 所以点M在以C1，C2为焦点的椭圆上， 因为a＝6，c＝2，所以b＝2， 所以点M的轨迹方程为＋＝1.
62(2)由题意知直线l的斜率存在， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：y＝kx＋m，
2
x2y2
y＝kx＋m，??22由?xy＋＝1，??62
22
得(3k＋1)x＋6kmx＋3m－6＝0，
2
2
2
－6km3m－6x1＋x2＝2，x1x2＝2，
3k＋13k＋1Δ＝(6km)－4(3k＋1)(3m－6)
2
2
2
＝12(6k＋2－m)>0，
2
设AB的中点为C(x0，y0)，
－3km－3kmm则x0＝2，y0＝kx0＋m＝2＋m＝2，
3k＋13k＋13k＋1
2
m12
由题意知2＝，所以2m＝3k＋1，
3k＋12
由Δ>0，得0 12(6k＋2－m)因为|AB|＝1＋k× 2 3k＋1 2 2 2 23×6k＋2－m＝1＋k×， 2 3k＋1 2 22原点O到直线AB的距离d＝ |m|1＋k2 ， 2 2 1|m|23×6k＋2－m2 所以S△OAB＝××1＋k× 22 23k＋11＋km×3×4m－m232 ＝＝×4m－m(0 2m2 即0 推荐学习K12资料 所以当m＝2时，S△OAB取最大值3. 故△OAB面积的取值范围为(0，3]. 思维升华 解决范围问题的常用方法 (1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形结合法求解． (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． (3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域． x2y26 跟踪演练1 (2018·北京)已知椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为22.斜率 ab3 为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B. (1)求椭圆M的方程； (2)若k＝1，求|AB|的最大值； (3)设P(－2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D， ?71?若C，D和点Q?－，?共线，求k. ?44? ??c6 解 (1)由题意得?＝， a3??2c＝22， 解得a＝3，b＝1. a2＝b2＋c2， 2 所以椭圆M的方程为＋y＝1. 3 (2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． x2 2 y＝x＋m，??2由?x2 ＋y＝1，??3 2 2 得4x＋6mx＋3m－3＝0，Δ＝36m－16(3m－3)＝－12m＋48>0， 即－2 3m3m－3所以x1＋x2＝－，x1x2＝. 24所以|AB|＝?x2－x1?＋?y2－y1? ＝2?x2－x1?＝2[?x1＋x2?－4x1x2] ＝ 12－3m. 2 2222 22 22 所以当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为6. (3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 推荐学习K12资料