正弦定理和余弦定理的应用举例(解析版).. 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/5/13 8:50:08星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

正弦定理和余弦定理的应用举例

考点梳理

1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型

测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①).

(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°,西偏北60°等; (3)方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②). (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数. 【助学·微博】

解三角形应用题的一般步骤

(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系.侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力.

(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.

(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.

解三角形应用题常有以下两种情形

(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.

(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有

时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.

考点自测

1.(2012·江苏金陵中学)已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则三角形的面积等于________.

解析 记三角形三边长为a-4,a,a+4,则(a+4)2=(a-4)2+a2-2a(a-4)cos 1120°,解得a=10,故S=2×10×6×sin 120°=153. 答案 153

2.若海上有A,B,C三个小岛,测得A,B两岛相距10海里,∠BAC=60°,∠ABC=75°,则B,C间的距离是________海里.

BCAB解析 由正弦定理,知sin 60°=.解得BC=56(海里).

sin?180°-60°-75°?答案 56

3.(2013·日照调研)如图,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为________海里/时.

68sin 120°346

解析 由正弦定理,得MN=sin 45°=346(海里),船的航行速度为4=176

2(海里/时). 答案

1762 4.在△ABC中,若23absin C=a2+b2+c2,则△ABC的形状是________. 解析 由23absin C=a2+b2+c2,a2+b2-c2=2abcos C相加,得a2+b2=π??

2absin?C+6?.又a2+b2≥2ab,所以

??

π?π?π??

sin?C+6?≥1,从而sin?C+6?=1,且a=b,C=3时等号成立,所以△ABC是????等边三角形. 答案 等边三角形

ba

5.(2010·江苏卷)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a+btan Ctan C

=6cos C,则tan A+tan B的值是________.

ba

解析 利用正、余弦定理将角化为边来运算,因为a+b=6cos C,由余弦定理a2+b2a2+b2-c23tan Ctan Csin C?cos Acos B?得ab=6·2ab,即a2+b2=2c2.而tan A+tan B=cos C?sin A+sin B?=

??sin Csin C

cos C·sin Asin B=答案 4

c22c22c2

===4.

a2+b2-c2a2+b2-c2322ab·2ab2c-c

考向一 测量距离问题

【例1】 如图所示,A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1 km. (1)求证:AB=BD; (2)求BD.

(1)证明 在△ACD中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°,所以CD=AC=0.1.又∠BCD=180°-60°-60°=60°, 故CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA. (2)解 在△ABC中,

ABAC

=,

sin∠BCAsin∠ABC

ACsin 60°32+6

即AB=sin 15°=20(km), 因此,BD=

32+6

20(km)