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正弦定理和余弦定理的应用举例

考点梳理

1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型

测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)．

(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等； (3)方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 【助学·微博】

解三角形应用题的一般步骤

(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力．

(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．

(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．

解三角形应用题常有以下两种情形

(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．

(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有

时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．

考点自测

1．(2012·江苏金陵中学)已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于________．

解析 记三角形三边长为a－4，a，a＋4，则(a＋4)2＝(a－4)2＋a2－2a(a－4)cos 1120°，解得a＝10，故S＝2×10×6×sin 120°＝153. 答案 153

2．若海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．

BCAB解析 由正弦定理，知sin 60°＝.解得BC＝56(海里)．

sin?180°－60°－75°?答案 56

3．(2013·日照调研)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/时．

68sin 120°346

解析 由正弦定理，得MN＝sin 45°＝346(海里)，船的航行速度为4＝176

2(海里/时)． 答案

1762 4．在△ABC中，若23absin C＝a2＋b2＋c2，则△ABC的形状是________． 解析 由23absin C＝a2＋b2＋c2，a2＋b2－c2＝2abcos C相加，得a2＋b2＝π??

2absin?C＋6?.又a2＋b2≥2ab，所以

??

π?π?π??

sin?C＋6?≥1，从而sin?C＋6?＝1，且a＝b，C＝3时等号成立，所以△ABC是????等边三角形． 答案 等边三角形

ba

5．(2010·江苏卷)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＋btan Ctan C

＝6cos C，则tan A＋tan B的值是________．

ba

解析 利用正、余弦定理将角化为边来运算，因为a＋b＝6cos C，由余弦定理a2＋b2a2＋b2－c23tan Ctan Csin C?cos Acos B?得ab＝6·2ab，即a2＋b2＝2c2.而tan A＋tan B＝cos C?sin A＋sin B?＝

??sin Csin C

cos C·sin Asin B＝答案 4

c22c22c2

＝＝＝4.

a2＋b2－c2a2＋b2－c2322ab·2ab2c－c

考向一 测量距离问题

【例1】 如图所示，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km. (1)求证：AB＝BD； (2)求BD.

(1)证明 在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°， 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA. (2)解 在△ABC中，

ABAC

＝，

sin∠BCAsin∠ABC

ACsin 60°32＋6

即AB＝sin 15°＝20(km)， 因此，BD＝

32＋6

20(km)