内容发布更新时间 : 2024/12/26 2:46:02星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
??1?22y??l?h?60?lh23.7523.75?????2? ?1?zh?h??2并且桌子的每根木条都要与上述钢筋所在直线相交，即桌面上每一点
A?xt,y,0?出发的木条，均会通过点C?x,yh,zh?，由此确定出每根木条所在直线
y?yhz?zh???22?zh ?25?t?yh?x?t?又考虑到每根木条的长度一定，我们可以得到每根木条末端坐标B?xt,yt,zt?满足：
??xt?t?2?222?lt2， ?zt?yt?25?t?yt?yhzt?zh???22?zh?25?t?yh??同时，这也就是桌脚边缘线关于t的参数方程（图1）。
2. 折叠桌动态描述
为了清晰的描述折叠桌的动态变化过程，我们先从单个木条运动轨迹、桌角边缘线变化过程两个方面进行描述，最后构勒出整个桌子的动态变化过程，具体如下：
1) 单个木条运动轨迹
上述模型给出了每根木条末端坐标边缘桌腿上升高度h的关系式（），当h从0cm逐渐增大变化到50cm时，折叠桌完成了从平板到桌子的变形，对于每个
x?t处特定的木条，我们能给出其底端运动的轨迹，即围绕桌面边缘连接处在x?t平面内的圆周运动的一部分，不同木条转动的角度不同：?t?arcsinzt。 lt因此木条所在直线随边缘桌腿上升高度h从0cm逐渐增大变化到50cm时，运动轨迹即在x?t平面内扫过圆心角为?t的扇面。以t1?1.25cm、t2?12.5cm、
t3?23.75cm的木条为例，下图给出了对应的动态变化过程（如图3）。
图3
2) 桌角边缘线变化过程
上述坐标方程（）同样可以看做是以t为参数的桌脚边缘线，随着h从0cm逐渐增大变化到50cm，桌角边缘线从一条直线逐渐变为空间曲线，如图4，两个曲面的交线即为所求边缘线。
图4
3) 折叠桌的动态变化过程
根据上述各个木条以及桌角边缘线的动态变化过程，再按照假设一将直线复原为矩形，就可以得到了桌腿构成的曲面在桌角逐渐升高的过程中的变化过程，即折叠桌由平板状态逐渐变为撑起的桌子状态的动态变化过程。（图5）详细参考附件动图1
图5
3. 模型具体求解 1) 折叠椅加工参数
题目中给出了平板的尺寸120 cm × 50 cm × 3 cm和每根木条宽度2.5 cm，在假设二下，我们可以容易得出木条根数：每边20根，共40根。
在上述模型建立时，我们得到了当桌面上升高度为h时，钢筋所在位置
??1?22y??l?h?60?lh23.7523.75?????2?， ?1?zh?h??2也就是说从桌面上任一点A?x,y,h?出发的木条，也一定穿过钢筋通过的点
C?x,yh,zh?，因此两者之间的距离为
dt?
?y?h25?t22??z22h，
对于桌面边缘出发的任意一根木条，我们能证明钢筋所处位置C?x,yh,zh?到桌面边缘点A?x,y,h?之间的距离dt是随着h增大而逐渐增大的，具体如下：
我们把各个木条投影到yoz平面上来研究其动态变化过程，由于钢筋固定在最外侧木条的中心位置，所以在运动过程中钢筋的投影点到最外侧木条的起始点
o'的距离不变，沿最外侧木条的起始点o'做圆周运动，当最外侧钢筋转动一个角
度?时，由钢筋所处位置C以及研究木条的起始点位置A即可确定此时木条的状态，如图6，由几何知识可知，两者之间的距离随着角度?的增大而增大，即dt是关于h的单调不减函数（除最外侧桌腿木条t?38时外，均为单调增函数）。
图6
由分析可知当h从0cm逐渐增大变化到50cm时，上述距离dt的浮动即为木条所需开槽的长度，所以对于每根桌腿木条来讲，其开槽长度为
Ct?dtH?dt0。
我们借助Mathematica求得计算后得到每根桌腿木条上的槽长从最外侧到最内侧依次如下表（木条编号n从最边缘开始编）：
n 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
dtH 26.0969 25.025.0900 34 309 30 25.225.625.9731 26 166 22 704 18 26.226.5875 14 415 10 26.7174 6 17.5314 26.8072 2 17.8728 t?cm? Ct?cm? 38 0 4.357.66644 372 10.312.514.3684 926 93 15.816.8031 445 2) 桌角边缘线
上述给出的木条末端坐标同样也是桌角边缘线的参数表达形式，这里取（图7中两曲面的交线） h?50cm，即可得到折叠桌的桌角边缘线，整理如下：
2?2222z?y?25?x?lt?? ?y?15.29z?25??22?25??25?x?15.29??
图7
问题二
问题二中给出桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，通过理论力学分析发现，由于对称性，钢筋对于两腿没有力的作用，也就是说中间搭在钢筋上的木条对于桌子的稳固性并没有很大影响（忽略内部摩擦的影响），且桌面直径即长方形平