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练习题

1.⊙O1交⊙O2 于A，B两点，射线O1A交⊙O2 于C点，射线O2A 交⊙O1 于D点.求证：点A是△BCD的内心.

(提示：设法证明C，D，O1，B四点共圆，再证C，D，B，O2 四点共圆，从而知C，D，O1，B，O2五点共圆.)

2.△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.

(提示：设法证∠ABA1与∠ACA1互补造成A，B，A1，C四点共圆；再证A，A2，B，C四点共圆，从而知A1，A2都是△ABC的外接圆上，并注意∠A1AA2=90°.)

3.设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3(互不重合).求证：△M1M2M3也是正三角形.

4.在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，P是AB上的点，过A点作PC的垂线交过B所作AB的垂线于Q点.求证：PD丄QD.

(提示：证B，Q，E，P和B，D，E，P分别共圆)

5.AD，BE，CF是锐角△ABC的三条高.从A引EF的垂线l1，从B引FD的垂线l2，从C引DE的垂线l3.求证：l1，l2，l3三线共点.(提示：过B作AB的垂线交l1于K，证：A，B，K，C四点共圆)

第五讲 三角形的五心

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心.

三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.

例1．过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.作点P

关于MN的对称点P′.试证：P′点在△ABC外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)

分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=NP =NC，故点M是△P′BP的外心，点N是△P′

11AP'PC的外心.有 ∠BP′P=∠BMP=∠BAC， 22N11 ∠PP′C=∠PNC=∠BAC.

22MBC ∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC. P 从而，P′点与A，B，C共圆、即P′在△ABC外接圆上.

由于P′P平分∠BP′C，显然还有 P′B:P′C=BP:PC.

例2．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心

为顶点的三角形与△ABC相似.

分析：设O1，O2，O3是△APS，△BQP，△CSQ的外心，作出六边形 AO1PO2QO3S后再由外心性质可知 O1....PKS ∠PO1S=2∠A， ∠QO2P=2∠B， ∠SO3Q=2∠C.

∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+ O2O3B∠O2QO3+∠O3SO1=360° CQ 将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1，

同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.

111 ∴∠O2O1O3=∠KO1O3=∠O2O1K=(∠O2O1S+∠SO1K)=(∠O2O1S+∠PO1O2)

222Wisdom&Love 第 16 页（共21页）

1∠PO1S=∠A； 2 同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC. 二、重心

三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长

度公式，便于解题.

例3．AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PCF中，

其中一个面积等于另外两个面积的和.

A (第26届莫斯科数学奥林匹克)

分析：设G为△ABC重心，直线PG与AB，BC相交.从A，C，D，E，F分别 A'F'EFG作该直线的垂线，垂足为A′，C′，D′，E′，F′. E'D' 易证AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′， BCC'D ∴EE′=DD′+FF′. P 有S△PGE=S△PGD+S△PGF.

两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.

例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相

似.其逆亦真.

分析：将△ABC简记为△，由三中线AD，BE，CF围成的三角形简记为△′.G为重心，连DE

到H，使EH=DE，连HC，HF，则△′就是△HCF.

(1)a2，b2，c2成等差数列?△∽△′. 若△ABC为正三角形，易证△∽△′.

112a2?2b2?c2， BE=2c2?2a2?b2， 不妨设a≥b≥c，有 CF=2212b2?2c2?a2. AD=2 =

将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得 CF=

333a，BE=b，AD=c. 222 ∴CF:BE:AD =

333a:b:c =a:b:c. 故有△∽△′. 222 (2)△∽△′?a2，b2，c2成等差数列.

当△中a≥b≥c时， △′中CF≥BE≥AD. ∵△∽△′， ∴

S?'CF2

＝().

aS?S33”，有?'=. 4S?4 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的

CF23 ∴2=?3a2=4CF2=2a2+b2-c2?a2+c2=2b2.

4a三、垂心

三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.

例5．设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为

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△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.

分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径为R.由△A2A3A4知 A1A2

A2H1=2R?A2H1=2Rcos∠A3A2A4；

sin?A2A3H1H1O.H2A3 由△A1A3A4得 A1H2=2Rcos∠A3A1A4. A4 但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2. 易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1 AH， ∥=12

故得H1H2 ∥ AA.设H1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点成中心对称.

=21

同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形

H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称.由O，M两点，Q点就不难确定了.

例6．H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直

线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2.

B2C1A 求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.

H2ME分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可.设BC=a， CA=b，AB=c，△ABC外 A1A2F接圆半径为R，⊙H的半径为r. 连HA1，AH交EF于M. H AA=AM+A1M=AM+r-MH=r+(AM-MH)， ①

11AH1)2-(AH-AH1)2 222

=AH·AH1-AH=AH2·AB-AH2

2

=cosA·bc-AH， ②

AH 而=2R?AH2=4R2cos2A,

sin?ABHa=2R?a2=4R2sin2A. sinA∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. ③

2122222 222

BDC2H1C 又AM2-HM2=(

B11b2?c2?a2由①、②、③有 AA=r+·bc-(4R2-a2)=(a2+b2+c2)-4R2+r2.

22bc212

同理，BB12=

12221(a+b+c)-4R2+r2，CC12=(a2+b2+c2)-4R2+r2.故有AA1=BB1=CC1. 22四、内心

三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：

设I为△ABC的内心，射线AI交△ABC外接圆于A′，则有A ′I=A′B=A′C.换言之，点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用). D例7．ABCD为圆内接凸四边形，取△DAB，△ABC，△BCD，

O4O3C△CDA的内心O1， O2，O3， O4.求证：O1O2O3O4为矩形.

O2O

B A

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例8．已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF中点P是△ABC

之内心.

分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB=AC.

当AB≠AC，怎样证明呢？

r 如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在∠BAC平分线上.易知AQ=.

sin? ∵QK·AQ=MQ·QN， ∴QK=

MQ?QN(2R?r)?r==sin??(2R?r). r/sin?AQMREOBNKrααPQFCA 由Rt△EPQ知PQ=sin??r.

∴PK=PQ+QK=sin??r+sin??(2R?r)=sin??2R. ∴PK=BK.?

利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心.

五、旁心

三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.

例9．在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，

c相切的旁切圆半径，p表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)

分析：设Rt△ABC中，c为斜边，先来证明一个特性：

p(p-c)=(p-a)(p-b).

rcK111122AO3∵p(p-c)=(a+b+c)·(a+b-c)=[(a+b)-c] =ab；

2242O211rbO(p-a)(p-b)=(-a+b+c)·(a-b+c)

rE22BraC1212

=[c-(a-b)]=ab. O142∴p(p-c)=(p-a)(p-b). ① 观察图形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=BG-BC=p-a，rc=CK=p.

1而r=(a+b-c)=p-c.∴r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p.

2由①及图形易证.

例10．M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△ABC内切圆的半

径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径. 证明：

r1rr·2=. q1q2qC'OA'..ED.B'A'

分析：对任意△A′B′C′，由正弦定理可知OD=OA′·sin

2A'B'B'sin?sinsinA'22， 2 =A′B′··sin =A′B′·

A'?B'2sin?A'O'B'sin2Wisdom&Love 第 19 页（共21页）

O'

A'B'cos22. O′E= A′B′·

A'?B'sin2ODA'B'?tgtg. ∴O'E22cos亦即有

r1rA?CMA?CNBBABrtgtg =tgtg=. ·2=tgtg222222qq1q2六、众心共圆

这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.

例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，BE，CF

三条对角线交于一点；

(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF. (1991，国家教委数学试验班招生试题)

分析：连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分线，I为△ACE

的内心.从而有ID=CD=DE，

IF=EF=FA， IB=AB=BC.

..Erdos不等式有： 再由△BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用 A BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS).

F 不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS.

BQ ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.

IPE ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA =2(BI+DI+FI) S ≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF.

C I就是一点两心. D例12．△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心.证明OE丄CD. (加拿大数学奥林匹克训练题)

A分析：设AM为高亦为中线，取AC中点F，E必在DF上且DE:EF=2:1.设

CD交AM于G，G必为△ABC重心.连GE，MF，MF交DC于K.易证： EFDG1DG:GK=DC:()DC=2:1. OK3BC ∴DG:GK=DE:EF?GE∥MF.

∵OD丄AB，MF∥AB，

∴OD丄MF?OD丄GE.但OG丄DE?G又是△ODE之垂心.易证OE丄CD. 例13．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.

求证：OI丄DE，OI=DE.

分析：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K. DAC30° 易证△AID≌△AIB≌△EIB，∠AID=∠AIB=∠EIB.

OKI1FE 利用内心张角公式，有 AIB=90°+∠C=105°，

2B ∴∠DIE=360°-105°×3=45°.

111 ∵∠AKB=30°+∠DAO=30°+(∠BAC-∠BAO)=30°+(∠BAC-60°)

2221 =∠BAC=∠BAI=∠BEI.

2ADFCPOEGBWisdom&Love 第 20 页（共21页）

∴AK∥IE.

由等腰△AOD可知DO丄AK，

∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高. 同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE. 由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.

例14．锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心

到三边距离和为d重，垂心到三边距离和为d垂.

A求证：1·d垂+2·d外=3·d重.

分析：这里用三角法.设△ABC外接圆半径为1，三个内角记为A，B， H3G3O2C. 易知d外=OO1+OO2+OO3 O3G2=cosA+cosB+cosC， H2OGI ∴2d外=2(cosA+cosB+cosC). ①

BCO1G1H1 ∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC， 同样可得BH2·CH3.

∴3d重=△ABC三条高的和

=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) ②

BH ∴=2，

sin?BCH ∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC. 同样可得HH2，HH3. ∴d垂=HH1+HH2+HH3

=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) ③ 欲证结论，观察①、②、③，

须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.

练 习 题

1.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′，B′，C ′.则AA′+BB′+CC′

＞△ABC周长.

2.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)

3.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)

4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形.

5.△ABC中∠C＜90°，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7)

16.△ABC的边BC=(AB+AC)，取AB，AC中点M，N，G为重心，I为内心.试证：过A，M，

2N三点的圆与直线GI相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)

7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作△ABC.(第7届莫斯科数学奥林匹克)

8.已知△ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：△I1I2I3是锐角三角形.

9.AB，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证：(1)△AEF与△ABC有公共的内心；(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合.

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