内容发布更新时间 : 2025/3/4 4:35:21星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题

1．已知F为椭圆C：＋＝1的右焦点，M为C上的任意一点．

43(1)求|MF|的取值范围；

3

(2)P，N是C上异于M的两点，若直线PM与直线PN的斜率之积为－，证明：M，N两点

4的横坐标之和为常数．

解：(1)依题意得a＝2，b＝3，所以c＝ a－b＝1， 所以椭圆C的右焦点F的坐标为(1，0)， 设椭圆C上的任意一点M的坐标为(xM，yM)， 则＋＝1， 43

322222

所以|MF|＝(xM－1)＋yM＝(xM－1)＋3－xM

41212

＝xM－2xM＋4＝(xM－4)， 44又－2≤xM≤2，所以1≤|MF|≤9， 所以1≤|MF|≤3，

所以|MF|的取值范围为[1，3]．

(2)证明：设P，M，N三点的坐标分别为(xP，yP)，(xM，yM)，(xN，yN)， 设直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，则直线PM的方程为y－yP＝k1(x－xP)，

2

22x2y2

x2y2MMxy??＋＝1，联立方程，得?43消去y，得

??y－yP＝k1(x－xP)，

(3＋4k1)x－8k1(k1xP－yP)x＋4k1xP－8k1xPyP＋4yP－12＝0， 8k1(k1xP－yP)

由根与系数的关系可得xM＋xP＝， 2

3＋4k18k1(k1xP－yP)4k1xP－8k1yP－3xP所以xM＝－xP＝， 223＋4k13＋4k18k2(k2xP－yP)

同理可得xN＋xP＝， 2

3＋4k23

又k1·k2＝－，

4

2

2

2

22

2

22

?3??3?8?－??－xP－yP?

8k2(k2xP－yP)?4k1??4k1?6xP＋8k1yP故xN＋xP＝＝＝， 223＋4k224k1＋3

?3?3＋4?－??4k1?

6xP＋8k1yP4k1xP－8k1yP－3xP则xN＝－xP＝－＝－xM， 22

4k1＋33＋4k1从而xN＋xM＝0，

即M，N两点的横坐标之和为常数．

2

x2y2

2．(2019·郑州市第二次质量预测)椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，Aab为椭圆上一动点(异于左、右顶点)，△AF1F2的周长为4＋23，且面积的最大值为3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设B是椭圆上一动点，线段AB的中点为P，OA，OB(O为坐标原点)的斜率分别为k1，

k2，且k1k2＝－，求|OP|的取值范围．

解：(1)由椭圆的定义及△AF1F2的周长为4＋23，可得2(a＋c)＝4＋23，所以a＋c＝2＋3①.

当A在上(或下)顶点时，△AF1F2的面积取得最大值，即bc＝3②， 由①②及a＝c＋b，得a＝2，b＝1，c＝3， 所以椭圆C的方程为＋y＝1.

4

111

(2)当直线AB的斜率不存在时，k1＝－k2，因为k1k2＝－，所以k1＝±，不妨取k1＝，

4221

则直线OA的方程为y＝x，

2

不妨取点A?2，

2

2

2

14

x2

2

??2?2??

?，则B?2，－?，P(2，0)，所以|OP|＝2. 2?2??

??y＝kx＋m当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由?22

?x＋4y＝4?

可得(1＋4k)x＋8kmx＋4m－4＝0，Δ＝64km－4(4k＋1)(4m－4)＝16(4k＋1－m)>0①，

－8km4m－41

所以x1＋x2＝2，x1x2＝2.因为k1k2＝－，所以4y1y2＋x1x2＝0，

1＋4k1＋4k4

32km2

所以4(kx1＋m)(kx2＋m)＋x1x2＝(4k＋1)x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m＝4m－4－2＋4m＝

1＋4k2

2

2

22

2

222222222

0，

1222

化简得2m＝1＋4k(满足①式)，所以m≥.

2

设P(x0，y0)，则x0＝所以|OP|＝x＋y＝

2

20

20

x1＋x2

2

－4km－2k1＝＝，y＝kx＋m＝. 00221＋4km2m13?1??2?

，2?. 2＝2－2∈?，2?，所以|OP|∈?4m4m?2??2?

4km2

＋综上，|OP|的取值范围为?

?2?

，2?. ?2?

x2y22

3．(2019·长春模拟)已知椭圆D：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为e＝，点(－2，1)在

ab2

椭圆D上．

(1)求椭圆D的方程；

(2)过椭圆D内一点P(0，t)的直线l的斜率为k，且与椭圆D交于M，N两点，设直线OM，

ON(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，若对任意k，存在实数λ，使得k1＋k2＝λk，求实数

λ的取值范围．

a2－b22

解：(1)椭圆D的离心率e＝＝，所以a＝2b，

a2

又点(－2，1)在椭圆D上，所以2＋2＝1，得a＝2，b＝2，所以椭圆D的方程为＋ab4

2

1

x2

y2

2

＝1.

(2)由题意得，直线l的方程为y＝kx＋t.

xy??＋＝1222

由?42，消元可得(2k＋1)x＋4ktx＋2t－4＝0. ??y＝kx＋t－4kt2t－4设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2，x1x2＝2，

2k＋12k＋1

2

y1y2kx1＋tkx2＋tt(x1＋x2)－4kt2k＋1－4kk1＋k2＝＋＝＋＝2k＋＝2k＋t·2·2＝2. x1x2x1x2x1x22k＋12t－4t－2

2

22

由k1＋k2＝λk，得

－4k＝λk， t2－2

－4

＝λ， t2－2

因为此等式对任意的k都成立，所以42

即t＝2－.

λ

因为点P(0，t)在椭圆内，所以0≤t<2， 4

即0≤2－<2，解得λ≥2.

λ

所以实数λ的取值范围是[2，＋∞)．

2