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2010/2011 学年 2 学期 高等数学A2（ A卷） 课程考试试题
拟题学院（系） : 数理学院 拟题人: 赵立宽 适 用 专 业: 机电，信息，应物等专业 校对人: 江莉
（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）
一、填空题（每小题3分，共15分）
y?z，则? 。
?xxdy2．一阶线性微分方程?2y?3ex的通解为 。
dx1．设z?arctan3．设L是椭圆周x?y?1，则曲线积分
22?(xL2?2x?1)ds 。
4．函数f(x)?xsinx展开为x的幂级数是 。 5．已知向量a?(2,1,1),b?(1,?1,3)，则a?b? 。 二、选择题（每小题3分，共15分）
1．函数f(x,y)?。 x2?y2在点（0，0）处（ ）
(A)偏导数存在 (B) 连续但偏导数不存在 (C) 可微 (D) 连续且偏导数存在
2．二重积分
1?10dx?3f(x,y)dy交换积分次序可化是（ ）。
xx(A) ?dy?010yyf(x,y)dx (B) ?dy?3f(x,y)dx
0yy1y(C) ?dy?2yf(x,y)dx (D) ?dy?013yyf(x,y)dx
3．曲面z?xy?1在点（1,1,2）处的切平面方程是（ ）。 (A) 2x?y?z?1?0 (B) x?2y?z?1?0 (C) x?y?z?1?0 (D) x?y?z?1?0
4．若级数
?an?1?n收敛，则级数
?(an?0?n?an?2)（ ）。
(A)绝对收敛 (B) 发散 (C) 收敛 (D)敛散性不能确定
5．以4为周期的函数在[?2,2)上的表达式为f(x)??的和函数为s(x),则s(2)?（ ）。
?x?4,?2?x?0?2?x,0?x?22，其傅里叶级数
(A) 1 (B) 2 (C) 0 (D)3.
三、（共21分）
?z?2z,1、（7分）设z?f(x?2y,2x?y)，其中f具有二阶连续偏导数，求。 ?x?x?y2、（7分）计算二重积分域。
3、（7分）利用高斯公式计算曲面积分曲面z?22x??ydxdy，其中区域D是由y?x，y?D1
及x?2所围区x
??(x?3其中?为?y)dydz?(y3?z)dzdx?2dxdy，
，取下侧。 x2?y2（x2?y2?1）
四、（共21分）
1、（7分）利用格林公式计算曲线积分(y?3xy?2)dx?(x?2xy?x)dy，其中L是
L?223从A(1,0)沿曲线y?1?x2到点B (-1,0)的圆弧。 2、（7分）求微分方程2y???3y??y?(6x?1)e的通解。 3、（7分）已知函数f(x,y,z)?xyz，
（1）求该函数在点A（1，-1，2）处的梯度；
（2）求该函数在点A（1，-1，2）处沿着从点A（1，-1，2）到点B（2，0，3）的方向的方向导数；
（3）该函数在点A（1，-1，2）处沿着哪个方向的方向导数最大？求出这个最大值。 五、（共16分）
1、（8分）求幂级数
2x1n(1?)x的收敛半径、收敛域及和函数。 ?nn?1?2、（8分）曲面?的方程为z?求曲面?的面积。
六、（共12分）
x2?y2，?在xoy坐标面上的投影为x2?2x?y2?0，
1、（6分）设正项数列?an?为单调数列，且级数收敛。
?(?1)an发散，证明级数?(nn?1n?12??1n)1?an2、（6分）设函数z?f(x,y)是由方程F(x?az,y?bz)?0确定的函数，其中F具有一阶连续偏导数，且aF1??bF2??0，求证：ay
2?z?z?bx?2xy。 ?x?y 2010-2011 学年 2 学期 高等数学A2（A） 卷 试题标准答案 拟题学院（系）： 数理学院 拟 题 人： 赵立宽 适用专业：机电、信息、应物等相关专业 书写标准答案人： 赵立宽
（答案要注明各个要点的评分标准）
一、 填空题：（每小题3分，共15分）
?yx?2xy?e?Ce1. 2；2.；3.3? ；4. 2x?y二、选择题：（每小题
(?1)n?1x2n,x?(??,??)；5. (4,?5,?3) ?n?1(2n?1)!?3分，共15分）
1) B. 2) D. 3) A. 4) C. 5) C. 三、（共21分）
1、解：分
?z?f1??2f2? ---------------------------------------------3?x?2z?2z??2f11???3f12???2f22?? ------------------------------------- 7??x?y?x?y分
2 、解：曲线y?x与y?分
2x1的交点为（1,1） ------------------------------------------------1x所以 分
2?dx2x2xydxdy??ydy， -----------------------------------------------------------4??2D11x??(x4?1))dx?1226 -----------------------------------------------------------------75分
22333、解 P?x?y,Q?y?z,R?2,取?1:z?1,x?y?1,取上侧,记?与?1所围成区
域为,?
--------------------------------2分
则由Gauss公式知得
???1??(x3?y)dydz?(y3?z)dzdx?2dxdy????(??P?Q?R??)dv?x?y?z ------------------3
?3???(x2?y2)dv?分 原
式
?3???x2??(???y2??1?)d?3v?( x3)-------------------5分
?3?d??d???2??dz?2??dxdy002?11?Dxy?6??(?3??4)d??2??01?17?10 --------------------------------7分
四、（共21分）