内容发布更新时间 : 2024/11/20 20:31:55星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
5.1、一长为l的棒AB，靠在半径为r的半圆形柱面上，如图所示。今A点以恒定速度v0沿水平线运动。试求：(i)B点的速度vB；(ii)画出棒的瞬时转动中心的位置。 解：如图，建立动直角系A?xyz，取A点为原点。vB?vA???rAB，关键是求? 法1(基点法)：取A点为基点，vC?vA???rAC?vA?vCO?vA?vAsin? 即??rAC?vAsin?，??rAC，化成标量为?rAC?vAsin? 在直角三角形?OCA中，rAC?rctg?
PvAsin?v0sin?v0sin2?所以?? ??rACrctg?rcos?即??v0sin?k
rcos?2BCvA取A点为基点，那么B点的速度为：
rvCOOy?Av0xv0sin2?vB?vA???rAB?v0i?k?[(?lcos?)i?lsin?j]rcos? 23vlsin?lsin??v0(1?)i?0jrcos?r法2(瞬心法)：如图，因棒上C点靠在半圆上，所以C点的速度沿切线方向，故延长OC，
使其和垂直于A点速度线交于P点，那么P点为瞬心。 在直角三角形?OCA中，rOA?r sin?rcos? 2sin?在直角三角形?OPA中，rAP?rOActg??v0sin2?rcos?vA???rPA??k?(?rPA)j??rPAi??i?v0i，即?? 2sin?rcos?取A点为基点，那么B点的速度为：
v0sin2?vB?vA???rAB?v0i?k?[(?lcos?)i?lsin?j]rcos? 23vlsin?lsin??v0(1?)i?0jrcos?r5.2、一轮的半径为r，竖直放置于水平面上作无滑动地滚动，轮心以恒定速度v0前进。求轮缘上任一点(该点处的轮辐与水平线成?角)的速度和加速度。 解：任取轮缘上一点M，设其速度为vM，加速度为aM
如图，取轮心O为原点，建立动系O?xyz，其中轮心的速度方向为x轴正向，O?xy平面位于轮上。那么轮子的角速度为????k??k
y?取O点为基点，那么vM?vO???rOM
因轮无滑动地滚动，所以C点为瞬心。vO???rCO?v0 r?OCMvMxvv即??k?rCOj?v0i，化简有??0?0，那么有：
rCOrvM?vO???rOM?v0i??k?r(cos?i?sin?j)v0k?r(cos?i?sin?j)r?v0(1?sin?)i?v0cos?j?v0i?aM?
ddvM?[v0(1?sin?)i?v0cos?j]?v0?cos?i?v0?sin?jdtdt ?v0?(cos?i?sin?j)??v0?(cos?i?sin?j)v02??(cos?i?sin?j)r5.3、半径为r的圆柱夹在两块相互平行的平板A和B之间，两板分别以速度v1和v2匀速反向运动，如图示。若圆柱和两板间无相对滑动，求： (i)圆柱瞬心的位置
(ii)位于圆柱上与板的接触点M的加速度。
解：(i)如图，圆柱瞬心的位置为C点，不妨设v1?v2 在图示的直角坐标系中，????k，
v1AMyOCNxBv1?v1i，v2??v2i，rCM?rCMj， rCN??rCNj?(rCM?2r)j
因为vM?v1???rCM，vN?v2???rCN
所以有v1??rCM，v2??rCN??(2r?rCM)，联立解得：rCM?或者取N点为基点，那么：
v22rv1
v1?v2vM?v1?v1i?vN???rNM??v2i??k?2rj?(2?r?v2)i
求得??v1?v22rv1，因v1??rCM，故rCM? 2rv1?v2于是求得瞬心的位置位于距离M点rCM?2rv1的直径上。
v1?v2v1?v2r
v1?v2(ii) 瞬心到圆柱轴心O的距离为rCO?rCM?r?圆柱轴心O的速度为vO???rCO??rCOi?v1?v2v1?v2v?vri?12i
2rv1?v22v1?v2v?vi?12i 22M点相对O点的速度为：vMO?vM?vO?v1i?vMO2(v1?v2)2M点相对O点做圆周运动，故aM???j
r4r5.4、高为h、顶角为2?的圆锥，在一平面上无滑动地滚动。已知圆锥轴线以恒定角速度?绕过顶点的铅直轴转动。求：
(i)圆锥的角速度
(ii)锥体底面上最高点的速度 (iii)圆锥的角加速度
解：取圆锥的顶点为原点，建立动系O?xyz 取圆锥和平面交线为y轴， 圆锥的对称面OAB位于O?yz平面
因圆锥轴线以恒定角速度?绕过顶点的铅直轴 转动，若设圆锥绕自身轴线的角速度为?' 那么圆锥绕顶点的角速度为???'??
又OB母线与平面接触，为圆锥的瞬时转动轴，故?平行于OB
(i)在角速度合成的矢量三角形中，圆锥的角速率???ctg?，即????ctg?j (ii)在动系O?xyz中，锥体底面上最高点A的位矢可以表示为：
z?A?'???'O??hByxrOA?rOAcos2?j?rOAsin2?k
由图中的几何关系可知：rOA?所以rOA?h cos?h(cos2?j?sin2?k) cos?